Câu hỏi:
Cho số phức (z) thỏa mãn (left| {z – 2i} right| le left| {z – 4i} right|) và (left| {z – 3 – 3i} right| = 1). Giá trị lớn nhất của biểu thức (P = left| {z – 2} right|) là:
A. (sqrt {13} + 1).
B. (sqrt {10} + 1).
C. (sqrt {13} ).
D. (sqrt {10} ).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi (Mleft( {x;y} right)) là điểm biểu diễn số phức (z) ta có: (left| {z – 2i} right| le left| {z – 4i} right|)( Leftrightarrow {x^2} + {left( {y – 2} right)^2} le {x^2} + {left( {y – 4} right)^2})
( Leftrightarrow y le 3);
(left| {z – 3 – 3i} right| = 1)( Leftrightarrow ) điểm M nằm trên đường tròn tâm (Ileft( {3;3} right)) và bán kính bằng 1.
Biểu thức (P = left| {z – 2} right| = AM) trong đó (Aleft( {2;0} right)), theo hình vẽ thì giá trị lớn nhất của (P = left| {z – 2} right|) đạt được khi (Mleft( {4;3} right)) nên (max P = sqrt {{{left( {4 – 2} right)}^2} + {{left( {3 – 0} right)}^2}} = sqrt {13} ).
=======
Lý thuyết
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Số phức (z = a + bi) có phần thực là (a), phần ảo là (b) ((a,binmathbb) và (i^2=-1)).
Số phức bằng nhau (a + bi = c + di Leftrightarrow) (a=c) và (b=d.)
Số phức (z = a + bi) được biểu diễn bới điểm (M(a,b)) trên mặt phẳng toạ độ.
Độ dài của vectơ OM là môđun của số phức (z), kí hiệu là (left| z right| = overrightarrow = sqrt + } .)
Số phức liên hợp của số phức (z = a + bi) là (a-bi) kí hiệu là (overline z = a – bi.)
Một số tính chất cần lưu ý của số phức
Mỗi số thực là số phức có phần ảo bằng 0. Ta có (mathbbsubset mathbb.)
Số phức (bi)((binmathbb)) được gọi là số thuần ảo (phần thực bằng 0).
Số (i) được gọi là đơn vị ảo.
Số phức viết dưới dạng (z = a + bi(a,binmathbb)) gọi là dạng đại số của số phức.
Ta có:
(left| right| = left| z right|).
(z = overline z Leftrightarrow z) là số thực.
(z = – overline z Leftrightarrow z) là số ảo.