Có bao nhiêu số phức (z) thỏa mãn (|z|={{2021}^{2}}) và (left( z+2021i right)left( bar{z}-frac{1}{2021} right)) là số thuần ảo?

Gọi số phức (z=a+bi,,left( a,bin mathbb{R} right),,,Rightarrow ,bar{z}=a-bi)

Theo đề bài, (|z|={{2021}^{2}},,Leftrightarrow ,,{{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{2021}^{4}},,,left( 1 right))

Xét:

(left( z+2021i right)left( bar{z}-frac{1}{2021} right)=z,bar{z}-frac{1}{2021}z+2021i,bar{z}-i=2021-frac{1}{2021}left( a+bi right)+2021ileft( a-bi right)-i)(=left( 2021-frac{1}{2021}a+2021b right)+left( 2021a-frac{1}{2021}b-1 right)i)

(left( z+2021i right)left( bar{z}-frac{1}{2021} right)) là số thuần ảo (Leftrightarrow 2021-frac{1}{2021}a+2021b=0Leftrightarrow a={{2021}^{2}}left( b+1 right))

Thế (a={{2021}^{2}}left( b+1 right)) vào phương trình (left( 1 right)), ta được: ({{2021}^{4}}{{left( b+1 right)}^{2}}+{{b}^{2}}={{2021}^{4}}Leftrightarrow left( {{2021}^{4}}+1 right){{b}^{2}}+{{2.2021}^{4}}b=0)

Phương trình này có hai nghiệm.. Vậy có 2 số phức thỏa mãn.