Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình ({{log }_{sqrt{2}}}left( x-1 right)={{log }_{2}}left( mx-8 right)) có hai nghiệm phân biệt?

Điều kiện (left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{x > 1,,,}\
{mx > 8}
end{array}} right.)

Ta có: ({{log }_{sqrt{2}}}left( x-1 right)={{log }_{2}}left( mx-8 right),,left( 1 right)Leftrightarrow {{log }_{2}}{{left( x-1 right)}^{2}}={{log }_{2}}left( mx-8 right))

(Leftrightarrow {{left( x-1 right)}^{2}}=mx-8Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+9=mLeftrightarrow x-2+frac{9}{x}=m,,,left( do,,x>1 right)) (2)

Phương trình (1) có 2 nghiệm thực phân biệt ⇒ Phương trình (2) có 2 nghiệm thực phân biệt lớn hơn 1 (*)

Xét hàm số (fleft( x right)=x-2+frac{9}{x},x>1) có (f’left( x right)=1-frac{9}{{{x}^{2}}},f’left( x right)=0Leftrightarrow x=3)

Bảng biến thiên:

(*)(Leftrightarrow 4