Đề bài: Cho hệ phương trình: (begin{cases}xy+x^2=m(y-1) \ xy+y^2=m(x-1) end{cases})a) Giải hệ phương trình khi (m=-1)b) Tìm giá trị của (m) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Lời giải
Giải
Hệ phương trình tương đương với:
(begin{cases}xy+x^2=m(y-1) \ x^2-y^2=m(y-x) end{cases} Leftrightarrow begin{cases}xy+x^2=m(y-1) \ (x-y)(x+y+m)=0 end{cases})
(Leftrightarrow begin{cases}x=y \ 2x^2-m(x-1)=0 end{cases}) (I) hoặc (begin{cases}y=-x-m \ m^2+m=0 end{cases}) (II)
a) Khi (m=-1) hệ phương trình trở thành:
(left[ begin{array}{l}begin{cases}x=y \ 2x^2+x-1=0 end{cases}\begin{cases}y=-x-m \ 0= 0end{cases}end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x =y= 1\x=y = frac{1}{2}\ x=t, y=-t+1 (tin R)end{array} right.)
Vậy với m=-1 hệ đã cho có nghiệm $(x;y)=(1;1),(t;-t+1) (t in R)$
b) Do hệ (II) không có nghiệm duy nhất nên đề bài thỏa mãn khi (I) có nghiệm duy nhất.
(I) (Leftrightarrow begin{cases}x=y \ 2x^2-mx+m=0 (*) end{cases})
(I) có nghiệm duy nhất (Leftrightarrow (*)) có nghiệm duy nhất.
(Leftrightarrow Delta=0 Leftrightarrow m^2-8m=0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m = 0\m = 8end{array} right.)
Khi (m=0) hệ phương trình (II) thỏa mãn với (begin{cases}xin R \ y=-x end{cases}) ( loại).
Khi (m=8) hệ phương trình (II) vô nghiệm (Rightarrow ) Hệ phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất.
=========
Chuyên mục: Hệ phương trình đối xứng