Đề bài: Cho hệ phương trình: $left{ begin{array}{l}x + y = m\{x^2} + {y^2} = 6 – {m^2}end{array} right.$$1$. Giải hệ phương trình khi $m = 1.$$2$. Tìm $m$ để hệ phương trình đã cho có nghiệm.
Lời giải
$1$.$begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
x + y = m\
{x^2} + {y^2} = 6 – {m^2}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x + y = m\
{left( {x + y} right)^2} – 2xy = 6 – {m^2}
end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x + y = m\
xy = {m^2} – 3
end{array} right.
end{array}$
$x, y$ là các nghiệm của phương trình:
${t^2} – mt + {m^2} – 3 = 0$
Phương trình này có nghiệm:
${t_{1,2}} = frac{{m pm sqrt {{m^2} – 4({m^2} – 3)} }}{2} = frac{{m pm sqrt {3(4 – {m^2})} }}{2}$
( khi và chỉ khi $4 – {m^2} ge 0 Leftrightarrow – 2 le m le 2)$
Vậy:
${rm{neu: |m| > 2 thi he vo nghiem}}$
${rm{neu |m| }} le {rm{ 2 thi he co nghiem:}}$
$left[ begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
x = frac{{m – sqrt {3(4 – {m^2})} }}{2}\
y = frac{{m + sqrt {3(4 – {m^2})} }}{2}
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
x = frac{{m + sqrt {3(4 – {m^2})} }}{2}\
y=frac{{m – sqrt {3(4 – {m^2})} }}{2}
end{array} right.
end{array} right.$
$begin{array}{l}
{rm{ Dac biet khi m = 1 thi he co 2 nghiem:}}\
left[ begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
x = – 1\
y = 2
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
x = 2\
y = – 1
end{array} right.
end{array} right.
end{array}$
=========
Chuyên mục: Các dạng hệ phương trình khác