Đề bài: Tìm $a$ để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất$left{ begin{array}{l} sqrt{x^2+3}+left| {y} right|=a\ sqrt{y^2+5}+|x|=sqrt{x^2+5}+sqrt{3}-a end{array} right.$
Lời giải
$ bullet $ Điều kiện cần
Thấy rằng,nếu hệ có nghiệm $(x_0;y_0)$ thì nó cũng có nghiệm $(-x_0;-y_0)$,$(-x_0;y_0),(x_0;-y_0)$.Bởi thế,nghiệm duy nhất của hệ chỉ có thể là $x_0=y_0=0.$Thay vào hệ có $a=sqrt{3}$.
$bullet$Điều kiện đủ
Với $a=sqrt{3}$,hệ trở thành $left{ begin{array}{l} sqrt{x^2+3}+|y|=sqrt{3} (1)\ sqrt{y^2+5}+|x|=sqrt{x^2+5} (2) end{array} right.$
Để ý : $sqrt{x^2+3}+|y|geq sqrt{3}$ Dấu đẳng thức có khi $x=y=0$.
Suy ra $(1)$ $Leftrightarrow x=y=0.$Thấy rằng $x=y=0$ cũng là nghiệm của $(2)$
$Rightarrow x=y=0$ là nghiệm duy nhất của hệ.
Tóm lại:Tập hợp các giá trị phải tìm của $a$ là $a=sqrt{3}$
=========
Chuyên mục: Hệ phương trình vô tỷ