Gọi S là tập hợp các số tự nhiên n có 4 chữ số thỏa mãn ({{left( {{2}^{n}}+{{3}^{n}} right)}^{2020}}

Ta có ({left( {{2^n} + {3^n}} right)^{2020}}

(begin{array}{l}
Leftrightarrow 2020ln left( {{2^n} + {3^n}} right)

Xét (fleft( t right) = frac{{ln left( {{2^t} + {3^t}} right)}}{t},t > 0)

( Rightarrow f’left( t right) = frac{{frac{{tleft( {{2^t}ln 2 + {3^t}ln 3} right)}}{{{2^t} + {3^t}}} – ln left( {{2^t} + {3^t}} right)}}{{{t^2}}} = frac{{left( {{2^t}ln {2^t} + {3^t}ln {3^t}} right) – left( {{2^t} + {3^t}} right)ln left( {{2^t} + {3^t}} right)}}{{{t^2}left( {{2^t} + {3^t}} right)}})

Ta thấy

({{2}^{t}}.ln {{2}^{t}}

({{3}^{t}}.ln {{3}^{t}}

Suy ra ({f}’left( t right)0) suy ta hàm số f(t) nghịch biến trên khoảng (left( 0;+infty  right)).

Vậy ta có (fleft( n right)2020)

(nin left{ 2021,……….,9999 right}) hay có có 7979 phần tử thuộc S.