Câu hỏi:
Tìm tổng các giá trị của số thực (a) sao cho phương trình ({z^2} + 3z + {a^2} – 2a = 0) có nghiệm phức
({z_0}) thỏa (left| {{z_0}} right| = 2).
A. (0).
B. (2).
C. (6).
D. (4).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
+) Trường hợp ({z_0} in mathbb{R}). Khi đó (left| {{z_0}} right| = 2 Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{{z_0} = 2{rm{ }}}\{{z_0} = – 2}end{array}} right.).
Nếu ({z_0} = 2) thì ({a^2} – 2a + 10 = 0) không có nghiệm thực (a).
Nếu ({z_0} = – 2) thì ({a^2} – 2a – 2 = 0) luôn có nghiệm thực (a) và theo định lý Vi-ét tổng hai nghiệm thực này là (2) (left( 1 right)).
+) Trường hợp phương trình ({z^2} + 3z + {a^2} – 2a = 0) có nghiệm phức ({z_0} notin mathbb{R}) thì ({bar z_0}) cũng là nghiệm phức của phương trình.
Vì (left| {{z_0}} right| = 2) nên ({z_0}.{bar z_0} = {left| {{z_0}} right|^2} = 4).
Theo định lý Vi-ét ta có ({z_0}.{bar z_0} = frac{{{a^2} – 2a}}{1} = {a^2} – 2a)( Rightarrow {a^2} – 2a = 4 Leftrightarrow {a^2} – 2a – 4 = 0) (left( * right)).
Phương trình (left( * right)) luôn có hai nghiệm thực phân biệt, theo định lý Vi-ét ta có tổng các giá trị của số thực (a) bằng (2) (left( 2 right)).
+) Từ (left( 1 right)) và (left( 2 right)) suy ra tổng các giá trị của số thực (a) sao cho phương trình ({z^2} + 3z + {a^2} – 2a = 0) có nghiệm phức ({z_0}) thỏa (left| {{z_0}} right| = 2) là (4).
=======