Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện left| {z – 2 – 4i} ight| = left| {z – 2i} ight|, tìm số phức z có môdun nhỏ nhất

Đặt (z = x + yileft( {x,y in mathbb{R}} right),) khi đó (left| {z – 2 – 4i} right| = left| {z – 2i} right| Leftrightarrow left| {x – 2 + left( {y – 4} right)i} right| = left| {x + left( {y – 2} right)i} right|)  
(Rightarrow sqrt {{{left( {x – 2} right)}^2} + {{left( {y – 4} right)}^2}} = sqrt {{x^2} + {{left( {y – 2} right)}^2}})
(Leftrightarrow {x^2} + {y^2} – 4x – 8y + 20 = {x^2} + {y^2} – 4y + 4 Leftrightarrow x + y = 4) 

Mặt khác: (left| z right| = sqrt {{x^2} + {y^2}} = sqrt {{x^2} + {{left( {4 – x} right)}^2}} = sqrt {2{x^2} – 8x + 16})
(= sqrt {2{{left( {x – 2} right)}^2} + 8} ge 2sqrt 2 Rightarrow {left| z right|_{min }} = 2sqrt 2) 

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi (x = y = 2 Rightarrow z = 2 + 2i).