Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:frac{{x – 1}}{2} = frac{y}{1} = frac{{z + 1}}{3} và (P):2x+y−z=0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d

Gọi (overrightarrow {{n_{(Q)}}}) là VTPT của mặt phẳng (Q)

Mp (P) có VTPT  (overrightarrow {{n_{(P)}}} = (2;1; – 1))

Đường thẳng d có VTCP (overrightarrow {{u_d}} = left( {2;1;3} right)) 

Ta có: (left{ {begin{array}{*{20}{c}} {d subset left( Q right)}\ {left( Q right) bot left( P right)} end{array} Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {overrightarrow {{n_{left( Q right)}}} bot overrightarrow {{u_d}} }\ {overrightarrow {{n_{left( Q right)}}} bot overrightarrow {{u_{left( P right)}}} } end{array}} right.} right.)

(left[ {overrightarrow {{n_{left( P right)}}} ;overrightarrow {{n_d}} } right] = left( { – 4;8;0} right) = – 4(1; – 2;0))

Vậy: (overrightarrow {{n_{(Q)}}} = (1; – 2;0)) 

Mặt khác (d:frac{{x – 1}}{2} = frac{y}{1} = frac{{z + 1}}{3}) qua (M(1;0;-1)) nên (Min (Q)) nên phương trình mặt phẳng (Q) là: 

(left( Q right):x – 2y – 1 = 0.)