Xét các số phức z thỏa mãn (left| z+2-i right|+left| z-4-7i right|=6sqrt{2}) . Gọi m,M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của (left| z-1+i right|) . Tính P=m+M .

Đặt (w=z-1+i=a+bi) với (a,bin mathbb{R})

(left| left( z-1+i right)+3-2i right|+left| left( z-1+i right)+left( -3-8i right) right|=6sqrt{2}) (left| w+3-2i right|+left| w+left( -3-8i right) right|=6sqrt{2})

Xét các điểm (Mleft( a;b right) , Aleft( -3;2 right) , Bleft( 3;8 right))

Ta có: (6sqrt{2}=MA+MBge AB=6sqrt{2})

Dấu  xảy ra (Leftrightarrow M) thuộc đoạn AB . Do đó b=a+5 và (-3le ale 3)

Ta có (left| w right|=sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=sqrt{2{{a}^{2}}+10a+25}) nên (m=text{min}left| w right|=frac{5sqrt{2}}{2} , M=text{Max}left| w right|=sqrt{73})

Suy ra  (P=frac{5sqrt{2}+2sqrt{73}}{2})