DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Xét các số thực dương (a,,b,,x,,y) thỏa mãn (1 < a le b le {a^3}) và ({a^x} = {b^y} = sqrt[3]{{ab}}). Giá trịlớn nhất của biểu thức (P = x + 3y) thuộc tập hợp nào dưới đây?
A. (left[ {1;,2} right)).
B. (left[ {2;,3} right)).
C. (left[ {3;,4} right)).
D. (left[ {4;,5} right)).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có ({a^x} = sqrt[3]{{ab}}) ( Leftrightarrow x = frac{1}{3}left( {1 + {{log }_a}b} right)), ({b^y} = sqrt[3]{{ab}} Leftrightarrow y = frac{1}{3}left( {1 + {{log }_b}a} right)).
(P = x + 3y = frac{1}{3}left( {1 + {{log }_a}b} right) + 1 + {log _b}a)( = frac{4}{3} + frac{1}{3}{log _a}b + frac{1}{{{{log }_a}b}}).
Đặt (t = {log _a}b), do (1 < a le b le {a^3}) ( Rightarrow 1 le {log _a}b le 3)( Rightarrow t in left[ {1;,3} right])( Rightarrow P = frac{4}{3} + frac{t}{3} + frac{1}{t}).
Xét hàm số (fleft( t right) = frac{4}{3} + frac{t}{3} + frac{1}{t},,t in left[ {1;,3} right])
(f’left( t right) = frac{1}{3} – frac{1}{{{t^2}}},,f’left( t right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = sqrt 3 \t = – sqrt 3 end{array} right.). Do (t in left[ {1;,3} right] Rightarrow t = sqrt 3 ).
(fleft( 1 right) = fleft( 3 right) = frac{8}{3},,fleft( {sqrt 3 } right) = frac{{4 + 2sqrt 3 }}{3})( Rightarrow mathop {max }limits_{left[ {1;,3} right]} fleft( t right) = frac{8}{3}) khi (left[ begin{array}{l}t = 1\t = 3end{array} right.).
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức (P = x + 3y) là (frac{8}{3} in left[ {2;,3} right)).
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
1. ĐẠO HÀM g'(x)
2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)
3. Lập BBT xét dấu g'(x)
4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.
===========