Xét hai số phức ({z_1},{z_2}) thỏa mãn (|{z_1}| = |{z_2}| = 1) và (|{z_1} + {z_2}| = sqrt 3 ). Giá trị lớn nhất của (|3{z_1} + 2{z_2} – 4 + 3i|) bằng
A. (5 – sqrt {19} ).
B. (5 + sqrt {19} ).
C. (2 + sqrt {19} ).
D. (2 – sqrt {19} ).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi ({z_1} = a + bi), ({z_2} = c + di), (a,b,c,d in mathbb{R},{i^2} = – 1).
Theo giả thiết, ta có
(|{z_1}| = 1 Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 1).
(|{z_2}| = 1 Leftrightarrow {c^2} + {d^2} = 1).
(|{z_1} + {z_2}| = sqrt 3 )( Leftrightarrow |(a + c) + (b + d)i| = sqrt 3 )( Leftrightarrow sqrt {{a^2} + {b^2} + 2(ac + bd) + {c^2} + {d^2}} = sqrt 3 )
( Leftrightarrow ac + bd = frac{1}{2}).
Xét (|3{z_1} + 2{z_2}| = |(3a + 2c) + (3b + 2d)i|)( = sqrt {9({a^2} + {b^2}) + 12(ac + bd) + 4({c^2} + {d^2})} )( = sqrt {19} ).
Vậy (|3{z_1} + 2{z_2} – 4 + 3i| = |(3{z_1} + 2{z_2}) + ( – 4 + 3i)|)( le |3{z_1} + 2{z_2}| + | – 4 + 3i| = sqrt {19} + 5).
XEM THÊM
============== Chuyên đề Số Phức ôn thi THPT Quốc gia
Link Hoc va de thi 2021