Biết ({log _{40}}75 = a + dfrac{{{{log }_2}3 – b}}{{c + {{log }_2}5}}) với (a,{rm{ }}b,{rm{ }}c) là các số nguyên dương. Giá trị của (abc) bằng

Cách 1:

Ta có: ({log _{40}}75 = dfrac{{{{log }_2}75}}{{{{log }_2}40}})( = dfrac{{{{log }_2}3 + 2{{log }_2}5}}{{3{{log }_2}2 + {{log }_2}5}}) ( = dfrac{{{{log }_2}3 + 2{{log }_2}5}}{{3 + {{log }_2}5}}) ( Rightarrow c = 3)

(a + dfrac{{{{log }_2}3 – b}}{{c + {{log }_2}5}} = a + dfrac{{{{log }_2}3 – b}}{{3 + {{log }_2}5}})( = dfrac{{{{log }_2}3 + left( {a{{log }_2}5 + 3a – b} right)}}{{3 + {{log }_2}5}})

Suy ra: (a{log _2}5 + 3a – b = 2{log _2}5)( Rightarrow left{ begin{array}{l}a = 2\3a – b = 0end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}a = 2\b = 6end{array} right.).

Vậy (abc = 2.6.3 = 36).

Cách 2:

Ta có: ({log _{40}}75 = dfrac{{{{log }_2}75}}{{{{log }_2}40}})( = dfrac{{{{log }_2}3 + 2{{log }_2}5}}{{{{log }_2}40}}) ( = dfrac{{{{log }_2}3 + 2left( {{{log }_2}40 – 3} right)}}{{{{log }_2}40}}) ( = 2 + dfrac{{{{log }_2}3 – 6}}{{3 + {{log }_2}5}})

Suy ra: (a = 2,,b = 6,,c = 3).

Vậy (abc = 2.6.3 = 36).

Chọn B.