Xác định điểm thuộc đồ thị hàm số: liên quan đến yếu tố độ dài, khoảng cách
Phương pháp giải bài toán xác định điểm thuộc đồ thị hàm số
Điểm M thuộc đồ thị hàm số $y=fleft( x right)Rightarrow Mleft( {{x}_{0}};fleft( {{x}_{0}} right) right)$.
§ Khoảng cách từ điểm M đến trục $Ox$ bằng: $dleft( M;Ox right)=left| fleft( {{x}_{0}} right) right|$.
§ Khoảng cách từ điểm M đến trục $Oy$ bằng: $dleft( M;Oy right)=left| {{x}_{0}} right|$.
§ Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $Delta :ax+by+c=0$ là: $dleft( M;Delta right)=frac{left| a{{x}_{0}}+b.fleft( {{x}_{0}} right)+C right|}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$.
§ Khoảng cách giữa hai điểm MN bằng $sqrt{{{left( {{x}_{M}}-{{x}_{N}} right)}^{2}}+{{left( {{y}_{M}}-{{y}_{N}} right)}^{2}}}$.
Bài tập trắc nghiệm đồ thị hàm số có đáp án
|
Bài tập 1: Cho hàm số: $y=frac{x+2}{x-1}left( C right)$. Tìm điểm M thuộc $left( C right)$ sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng $y=-x$ bằng $sqrt{2}$. |
Lời giải chi tiết
Gọi $Mleft( a;frac{a+2}{a-1} right)in left( C right),,left( ane 1 right).$
Khoảng cách từ M đến đường thẳng $y=-x$ là: $d=frac{left| a+frac{a+2}{a-1} right|}{sqrt{2}}=sqrt{2}Leftrightarrow left| {{a}^{2}}+2 right|=2left| a-1 right|$
$Leftrightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} {{a}^{2}}-2a+4=0 \ {{a}^{2}}+2a=0 \end{array} right.Leftrightarrow {{a}^{2}}+2a=0Leftrightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} a=0Rightarrow Mleft( 0;-2 right) \ a=-2Rightarrow Mleft( -2;0 right) \end{array} right.$
Vậy tọa độ điểm M cần tìm là $Mleft( 0;-2 right)$ hoặc $Mleft( -2;0 right)$.
|
Bài tập 2: Cho hàm số $y=frac{2x+1}{x-1}left( C right)$. Gọi M là điểm nằm trên đồ thị $left( C right)$ và $H,K$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các trục $Ox$ và $Oy$. Có bao nhiêu điểm M thỏa mãn tứ giác $MHOK$ có diện tích bằng 2. A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. |
Lời giải chi tiết
Gọi $Mleft( a;frac{2a+1}{a-1} right)in left( C right),left( ane 1 right)$. Tứ giác $MHOK$ là hình chữ nhật.
Ta có: ${{S}_{MHOK}}=MH.MK=dleft( M;Ox right).dleft( M;Oy right)$
$=left| a right|.left| frac{2a+1}{a-1} right|=left| frac{2{{a}^{2}}+a}{a-1} right|=2Leftrightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} 2{{a}^{2}}+a=2a-2 \ 2{{a}^{2}}+a=-2a+2 \end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} 2{{a}^{2}}-a+2=0 \ 2{{a}^{2}}+3a-2=0 \end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} a=frac{1}{2} \ a=-2 \end{array} right.$
Vậy $Mleft( frac{1}{2};4 right)$ hoặc $Mleft( -2:1 right)$. Chọn C.
|
Bài tập 3: Cho hàm số $y=frac{-x-1}{x-1}left( C right)$. Có bao nhiêu điểm $Min left( C right)$ để khoảng cách từ M đến đường thẳng $Delta :y=2x-1$ bằng $frac{3}{sqrt{5}}$. A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. |
Lời giải chi tiết
Gọi $Mleft( a;frac{-a-1}{a-1} right)in left( C right),left( ane 1 right)$. Ta có: $Delta :2x-y-1=0Rightarrow dleft( M;Delta right)=frac{left| 2a+frac{a+1}{a-1}-1 right|}{sqrt{5}}=frac{3}{sqrt{5}}$
$Leftrightarrow left| 2{{a}^{2}}-2a+2 right|=3left| a-1 right|Leftrightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} 2{{a}^{2}}-2a+2=3a-3 \ 2{{a}^{2}}-2a+2=-3a+3 \end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} 2{{a}^{2}}-5a+5=0 \ 2{{a}^{2}}+a-1=0 \end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} a=frac{1}{2} \ a=-1 \end{array} right.$
Vậy có 2 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C.
|
Bài tập 4: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-2x+1$. Tìm tất cả các điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ M đến trục tung bằng 1. A. $Mleft( 1;0 right)$ hoặc $Mleft( -1;2 right)$. B. $Mleft( 0;1 right)$ hoặc $Mleft( 2;-1 right)$. C. $Mleft( 1;0 right)$. D. $Mleft( 2;-1 right)$. |
Lời giải chi tiết
Khoảng cách từ M đến trục tung bằng 1, suy ra $left[ begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{M}}=1Rightarrow {{y}_{M}}=0 \ {{x}_{M}}=-1Rightarrow {{y}_{M}}=2 \end{array} right.Rightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} Mleft( 1;0 right) \ Mleft( -1;2 right) \end{array} right.$
Chọn A.
|
Bài tập 5: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3x$ có đồ thị $left( C right)$ và điểm $Kleft( 1;-3 right)$. Biết điểm $Mleft( x;y right)$ trên $left( C right)$ thỏa mãn ${{x}_{M}}ge -1$ và độ dài $KM$ nhỏ nhất. Tìm phương trình đường thẳng $OM$. A. $y=2x.$ B. $y=-x.$ C. $y=sqrt{3}x.$ D. $y=-2x.$ |
Lời giải chi tiết
Điểm $Mleft( x;y right)in left( C right)Rightarrow Mleft( x;{{x}^{3}}-3x right)$ với $xge -1$.
Ta có $overline{KM}=left( x-1;{{x}^{3}}-3x+3 right)Rightarrow KM=sqrt{{{left( x-1 right)}^{2}}+{{left( {{x}^{3}}-3x+3 right)}^{2}}}$. Đặt $fleft( x right)={{left( x-1 right)}^{2}}+{{left( {{x}^{3}}-3x+3 right)}^{2}}.$
Xét hàm số $fleft( x right)$ trên đoạn $left[ -1;+infty right)$, ta có ${f}’left( x right)=2left( x-1 right)+6left( {{x}^{2}}-1 right)left( {{x}^{3}}-3x+3 right);,forall xge -1.$
Phương trình ${f}’left( x right)=0Leftrightarrow left( x-1 right).underbrace{left[ 1+3left( x+1 right)left( {{x}^{3}}-3x+3 right) right]}_{gleft( x right)}=0Leftrightarrow x=1$ vì $gleft( x right)ge 0;,forall xge -1.$
Giá trị nhỏ nhất của $fleft( x right)$ bằng 1. Dấu$”=”$ xảy ra khi $x=1Rightarrow Mleft( 1;-2 right)Rightarrow left( OM right):y=-2x.$
Chọn D.
|
Bài tập 6: Cho hàm số $y=frac{2x-1}{x+1},left( C right)$. Tổng khoảng cách từ một điểm M trên $left( C right)$ đến hai đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu? A. $2sqrt{3}.$ B. $2.$ C. $4.$ D. $4sqrt{3}.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi điểm $Mleft( a;frac{2a-1}{a+1} right)in left( C right)$. Hai đường tiệm cận của $left( C right)$ là $x=-1$ và $y=2.$
Suy ra khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận bằng $left{ begin{array}{*{35}{l}} {{d}_{1}}=dleft( M,x=-1 right)=left| a+1 right| \ {{d}_{2}}=dleft( M,y=2 right)=frac{3}{left| a+1 right|} \end{array}. right.$
Khi đó tổng khoảng cách sẽ bằng $d={{d}_{1}}+{{d}_{2}}=left| a+1 right|+frac{3}{left| a+1 right|}ge 2sqrt{left| a+1 right|.frac{3}{left| a+1 right|}}=2sqrt{3}.$
Chọn A.
|
Bài tập 7: Tìm tất cả những điểm thuộc trục hoành cách đều hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2$. A. $Mleft( -1;0 right).$ B. $Mleft( 1;0 right).$ C. $Mleft( 2;0 right).$ D. $Mleft( 1;0 right).$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${y}’=3{{x}^{2}}-6x=0Leftrightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} x=0Rightarrow y=2 \ x=2Rightarrow y=-2 \end{array} right.Rightarrow Aleft( 0;2 right);Bleft( 2;-2 right)$. Gọi $Mleft( t;0 right)$
Khi đó $M{{A}^{2}}=M{{B}^{2}}Leftrightarrow {{t}^{2}}+4={{left( t-2 right)}^{2}}+4Leftrightarrow t=1Rightarrow Mleft( 1;0 right)$.
Chọn D.
|
Bài tập 8: Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị hàm số $y=frac{x+2}{x-1}$ mà khoảng cách từ M đến trục $Oy$bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục $Ox$? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. |
Lời giải chi tiết
Gọi $Mleft( a;frac{a+2}{a-1} right)left( ane 1 right)in $ đồ thị hàm số đã cho.
Ta có: $dleft( M;Oy right)=left| a right|;dleft( M;Ox right)=left| frac{a+2}{a-1} right|$
Theo giả thiết ta có: $left| frac{a+2}{a-1} right|=2left| a right|Leftrightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} frac{a+2}{a-1}=2a \ frac{a+2}{a-1}=-2a \end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} 2{{a}^{2}}-3a-2=0 \ -2{{a}^{2}}+a-2=0 \end{array} right.Leftrightarrow a=2;a=-frac{1}{2}$
Vậy có 2 điểm $Aleft( 2;4 right)$ và $Bleft( -frac{1}{2};-1 right)$. Chọn C.
|
Bài tập 9: Tìm trên đồ thị hàm số $y=frac{2x+1}{x-1}$ những điểm $M$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận đứng bằng ba lần khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận ngang của đồ thị. A. $Mleft( -4;frac{7}{5} right)$ hoặc $Mleft( 2;5 right)$. B. $Mleft( 4;3 right)$ hoặc $Mleft( -2;1 right).$ C. $Mleft( 4;3 right)$ hoặc $Mleft( 2;5 right).$ D. $Mleft( -4;frac{7}{5} right)$ hoặc $Mleft( -2;1 right)$. |
Lời giải chi tiết
Tiệm cận đứng: $x=1$. Tiệm cận ngang $y=2$. Gọi $Mleft( a;frac{2a+1}{a-1} right)$
Khi đó: $dleft( M;TCN right)=left| frac{2a+1}{a-1}-2 right|=frac{3}{left| a-1 right|},,dleft( M;TCD right)=left| a-1 right|.$
Theo bài ra ta có: $left| a-1 right|=3.frac{3}{left| a-1 right|}Leftrightarrow {{left( a-1 right)}^{2}}=9Leftrightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} a=4Rightarrow Mleft( 4;3 right) \ a=-2Rightarrow Mleft( -2;1 right) \end{array} right..$
Chọn B.
|
Bài tập 10: Giả sử đường thẳng $d:x=a,a>0$ cắt đồ thị hàm số $y=frac{2x+1}{x-1}$ tại một điểm duy nhất, biết khoảng cách từ điểm đó đến tiệm cận đứng của đồ thị hàm số bằng 1; ký hiệu $left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ là tọa độ của điểm đó. Tìm ${{y}_{0}}$. A. ${{y}_{0}}=-1.$ B. ${{y}_{0}}=5.$ C. ${{y}_{0}}=1.$ D. ${{y}_{0}}=2.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $Mleft( a;frac{2a+1}{a-1} right),left( a>0 right)$ là điểm cần tìm. TCĐ của đồ thị hàm số đã cho là: $x=1$
Khi đó $dleft( M;x=1 right)=1Leftrightarrow left| a-1 right|=1xrightarrow{a>0}a=2Rightarrow {{y}_{0}}=frac{2a+1}{a-1}=5$.
Chọn B.
|
Bài tập 11: Cho hàm số $y=frac{x+1}{x-2}left( C right)$. Gọi $M$ là điểm thuộc $left( C right)$ sao cho tích khoảng cách từ điểm $M$ đến trục $Ox$ và đến đường tiệm cận ngang bằng 6. Tổng hoành độ các điểm $M$ thỏa mãn yêu cầu bài toán bằng A. $-1.$ B. $frac{9}{2}.$ C. $8.$ D. $4.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $Mleft( a;frac{a+1}{a-2} right)left( ane 2 right)$. TCĐ: $x=2$ và TCN: $y=1$
a) Ta có: $dleft( M;Ox right)=left| frac{a+1}{a-2} right|={{d}_{1}}$; $dleft( M;TCN:y=1 right)=left| frac{a+1}{a-2}-1 right|=frac{3}{left| a-2 right|}={{d}_{2}}$
Theo bài ra ta có: ${{d}_{1}}{{d}_{2}}=left| frac{3left( a+1 right)}{{{left( a-2 right)}^{2}}} right|=6Leftrightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} frac{a+1}{{{left( a-2 right)}^{2}}}=2 \ frac{a+1}{{{left( a-2 right)}^{2}}}=-2 \end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} 2{{a}^{2}}-9a+7=0 \ 2{{a}^{2}}-7a+9=0 \end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}} a=1Rightarrow Mleft( 1;-2 right) \ a=frac{7}{2}Rightarrow Mleft( frac{7}{2};3 right) \end{array} right.$
Vậy $Mleft( 1;-2 right)$ hoặc $Mleft( frac{7}{2};3 right)$ là các điểm cần tìm. Chọn B.