Cho (1 ne a > 0), chứng minh rằng: (frac{{ln a}}{{a – 1}} le frac{{1 + sqrt[3]{a}}}{{a + sqrt[3]{a}}}).
Lời giải
Ta phải chứng minh (frac{{ln a}}{{a – 1}} le frac{{1 + sqrt[3]{a}}}{{a + sqrt[3]{a}}}) (1) với (1 ne a > 0).
Xét hai trường hợp:
+) Trường hợp 1: (a > 1)
(left( 1 right) Leftrightarrow left( {a + sqrt[3]{a}} right)ln a le left( {1 + sqrt[3]{a}} right)left( {a – 1} right)) (left( 2 right))
Đặt (x = sqrt[3]{a} Rightarrow x > 1) . 0000
Khi đó (left( 2 right) Leftrightarrow 3left( {{x^3} + x} right)ln x le left( {1 + x} right)left( {{x^3} – 1} right),forall x > 1)
( Leftrightarrow {x^4} + {x^3} – x – 1 – 3left( {{x^3} + x} right)ln x ge 0)(forall x > 1) (left( 3 right)).
Xét (fleft( x right) = {x^4} + {x^3} – x – 1 – 3left( {{x^3} + x} right)ln x) trên (left[ {1; + infty } right)).
Ta có (f’left( x right) = 4{x^3} + 3{x^2} – 1 – 3left[ {left( {3{x^2} + 1} right)ln x + left( {{x^3} + x} right)frac{1}{x}} right])( = 4{x^3} – 4 – 3left( {3{x^2} + 1} right)ln x).
(f”left( x right) = 3left( {4{x^2} – 3x – 6xln x – frac{1}{x}} right)).
({f^{left( 3 right)}}left( x right) = 3left( {8x + frac{1}{{{x^2}}} – 6ln x – 9} right)).
({f^{left( 4 right)}}left( x right) = 3left( {8 – frac{6}{x} – frac{2}{{{x^3}}}} right))( = frac{{6left( {4{x^3} – 3x – 1} right)}}{{{x^3}}})( = frac{{6left( {x – 1} right)left( {4{x^2} + 4x + 1} right)}}{{{x^3}}} ge 0,forall x ge 1).
Suy ra ({f^{left( 3 right)}}left( x right)) đồng biến trên (left[ {1; + infty } right))( Rightarrow {f^{left( 3 right)}}left( x right) ge {f^{left( 3 right)}}left( 1 right) = 0), (forall x ge 1)
Khi đó (f”left( x right)) đồng biến trên (left[ {1; + infty } right))( Rightarrow f”left( x right) ge f”left( 1 right) = 0), (forall x ge 1)
Do đó (f’left( x right)) đồng biến trên (left[ {1; + infty } right))( Rightarrow f’left( x right) ge f’left( 1 right) = 0), (forall x ge 1)
( Rightarrow fleft( x right)) đồng biến trên (left[ {1; + infty } right)) nên (fleft( x right) > fleft( 1 right) Leftrightarrow fleft( x right) > 0) với (forall x > 1) . Vậy (3) đúng.
+) Trường hợp 2: (0 < a < 1)
Đặt (a = frac{1}{{{a_1}}},{a_1} > 1) khi đó bất đẳng thức (1) trở thành: [frac{{ln frac{1}{{{a_1}}}}}{{frac{1}{{{a_1}}} – 1}} le frac{{1 + sqrt[3]{{frac{1}{{{a_1}}}}}}}{{frac{1}{{{a_1}}} + sqrt[3]{{frac{1}{{{a_1}}}}}}} Leftrightarrow frac{{ln {a_1}}}{{{a_1} – 1}} le frac{{1 + sqrt[3]{{{a_1}}}}}{{{a_1} + sqrt[3]{{{a_1}}}}}] quay về trường hợp 1.
Vậy bài toán được chứng minh.