Cho hàm số (y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d) với (a ne 0) có hai hoành độ cực trị là (x = 1) và (x = 3).

(y = fleft( x right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d)

Do hàm số có hoành độ hai điểm cực trị là ({x_1} = 1,{x_2} = 3) nên (left{ begin{array}{l}4 = {x_1} + {x_2} =  – frac{{2b}}{{3a}}\3 = {x_1}{x_2} = frac{c}{{3a}}end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}b =  – 6a\c = 9aend{array} right.)

Xét phương trình (fleft( x right) = fleft( m right)) ta được:

(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = a{m^3} + b{m^2} + cm + d) ( Leftrightarrow aleft( {{x^3} – {m^3}} right) + bleft( {{x^2} – {m^2}} right) + cleft( {x – m} right) = 0) ( Leftrightarrow aleft( {{x^3} – {m^3}} right) – 6aleft( {{x^2} – {m^2}} right) + 9aleft( {x – m} right) = 0) ( Leftrightarrow left( {x – m} right)left( {{x^2} + mx + {m^2}} right) – 6left( {x – m} right)left( {x + m} right) + 9left( {x – m} right) = 0) ( Leftrightarrow left( {x – m} right)left[ {{x^2} + mx + {m^2} – 6x – 6m + 9} right] = 0) ( Leftrightarrow left( {x – m} right)left[ {{x^2} + left( {m – 6} right)x + {m^2} – 6m + 9} right] = 0) ( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x – m = 0\{x^2} + left( {m – 6} right)x + {m^2} – 6m + 9 = 0end{array} right.)

Để phương trình (fleft( x right) = fleft( m right)) có ba nghiệm phân biệt thì phương trình ({x^2} + left( {m – 6} right)x + {m^2} – 6m + 9 = 0) có hai nghiệm phân biệt khác (m).

( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta  = {left( {m – 6} right)^2} – 4left( {{m^2} – 6m + 9} right) > 0\{m^2} + left( {m – 6} right).m + {m^2} – 6m + 9 ne 0end{array} right.) ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l} – 3{m^2} + 12m > 0\3{m^2} – 12m + 9 ne 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}0 < m < 4\m ne 1,m ne 3end{array} right.)

Vậy (m in left( {0;4} right)backslash left{ {1;3} right}).

Chọn D.