Câu hỏi:
(3 điểm): Cho tam giác ABC, các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC. Trên tia đối của tia NP lấy điểm D sao cho ND = NP.a) Chứng minh: Tứ giác ADCP là hình bình hành.b) Gọi F là giao điểm của MN và DC. Giả sử MN = 3cm. Tính BC và chứng minh FD = FC.c) Gọi H là giao điểm của AP và MN; I là giao điểm của NP và HC. Chứng minh: B, I, F thẳng hàng.
Trả lời:
Hướng dẫn giải
a) Xét tứ giác ADCP có:N là trung điểm của ACN là trung điểm của DP (ND = NP)⇒ tứ giác ADCP là hình bình hành.b) Xét tam giác ABC có:M là trung điểm ABN là trung điểm AC⇒ MN là đường trung bình tam giác ABC⇒ MN//BC, \(MN = \frac{1}{2}BC\)⇒ BC = 2MN = 2.3 = 6cmTa có MN//BC (MN là đường trung bình tam giác ABC)⇒ NF//PCTrong tam giác DCP có:N là trung điểm của DPNF//PC⇒ F là trung điểm của DCHay DF = FCSuy ra NF là đường trung bình của ΔDCP.\( \Rightarrow NF = \frac{1}{2}PC\)c) Chứng minh tương tự: HN là đường trung bình của ΔACP và H là trung điểm của AP\( \Rightarrow HN = \frac{1}{2}PC\)Ta có: \(HF = HN + NF = \frac{1}{2}PC + \frac{1}{2}PC = PC\)Mà có: PC = PB nên HN= PBXét tứ giác BHFP có HN = PB và HN // PB (vì MN//BC)⇒ BHFP là hình hình hànhGọi BF cắt HP tại O. Khi đó O là trung điểm của BF và HP.Trong tam giác APC có CH và PN là đường trung tuyếnvà CH cắt PN tại II là trọng tâm tam giác APC\( \Rightarrow PI = \frac{2}{3}PN\)Trong tam giác PHF có: PN là đường trung tuyến và \(PI = \frac{2}{3}PN\)I là trọng tâm tam giác PHFmà có FO là đường trung tuyến (vì O là trung điểm của HP)I thuộc FOF, I, O thẳng hàngmà F, O, B thẳng hàngnên B, I, F thẳng hàng.
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====