Cho tứ diện(ABCD)có(AB = AC = BD = CD = 1). Khi thể tích của khối tứ diện lớn nhất thì khoảng cách giữa hai đường thẳng(AD)và(BC)bằng
Câu hỏi:
Cho tứ diện(ABCD)có(AB = AC = BD = CD = 1). Khi thể tích của khối tứ diện lớn nhất thì khoảng cách giữa hai đường thẳng(AD)và(BC)bằng
A. (frac{{sqrt 2 }}{2}).
B. (frac{{2sqrt 3 }}{3}).
C. (frac{{sqrt 3 }}{6}).
D. (frac{{sqrt 3 }}{3}).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi(H),(K)lần lượt là trung điểm của(BC)và(AD).
Vì(AB = AC = BD = CD = 1)nên(AH bot BC)và(DH bot BC), suy ra(BC bot (AHD)) ( Rightarrow )(BC bot HK). Mặt khác(Delta ABC = Delta DBC)nên(AH = DH), suy ra(HK bot AD).
( Rightarrow HK)là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng(AD) và(BC)( Rightarrow d(AD;BC) = HK).
Đặt(BC = 2x),(AD = 2y), với(0 < x < 1)và(0 < y < 1).
Ta có(AH = sqrt {A{B^2} – B{H^2}}= sqrt {1 – {x^2}} ),(HK = sqrt {A{H^2} – A{K^2}}= sqrt {1 – {x^2} – {y^2}} ), với({x^2} + {y^2} < 1).
Thể tích của khối tứ diện(ABCD)là:
(V = {V_{
B. AHD}} + {V_{
C. AHD}} = frac{1}{3}{S_{AHD}} cdot (BH + CH) = frac{1}{3} cdot frac{1}{2} cdot A
D. HK.BC = frac{1}{6} cdot 2y cdot 2x cdot sqrt {1 – {x^2} – {y^2}} )
( = frac{2}{3}sqrt {{x^2}{y^2}left( {1 – {x^2} – {y^2}} right)} ).
Mặt khác:({x^2}{y^2}left( {1 – {x^2} – {y^2}} right) le {left( {frac{{{x^2} + {y^2} + left( {1 – {x^2} – {y^2}} right)}}{3}} right)^3} = frac{1}{{27}}).
Nên(V = frac{2}{3}sqrt {{x^2}{y^2}left( {1 – {x^2} – {y^2}} right)}le frac{2}{3}sqrt {frac{1}{{27}}}= frac{{2sqrt 3 }}{{27}}).
( Rightarrow {rm{max}}{{rm{V}}_{ABCD}} = frac{{2sqrt 3 }}{{27}}) khi và chỉ khi ({x^2} = {y^2} = 1 – {x^2} – {y^2} Rightarrow x = y = frac{1}{{sqrt 3 }}).
Khi đó(HK = sqrt {1 – {x^2} – {y^2}}= frac{{sqrt 3 }}{3}). Vậy(d(AD;BC) = frac{{sqrt 3 }}{3}).
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Khối đa diện