Có bao nhiêu giá trị nguyên của (m) để phương trình: (2 + 2sin 2x – m{left( {1 + cos x} right)^2} = 0) có nghiệm (x in left[ { – frac{pi }{2};frac{pi }{2}} right])?
Câu hỏi:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của (m) để phương trình: (2 + 2sin 2x – m{left( {1 + cos x} right)^2} = 0) có nghiệm (x in left[ { – frac{pi }{2};frac{pi }{2}} right])?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải
Chọn C
Với (x in left[ { – frac{pi }{2};frac{pi }{2}} right]) suy ra (frac{x}{2} in left[ { – frac{pi }{4};frac{pi }{4}} right]).
Đặt (t = tan frac{x}{2}), (t in left[ { – 1;1} right]), ta có (sin x = frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}), (cos x = frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}).
Khi đó phương trình trở thành: (2{left( {sin x + cos x} right)^2} = m{left( {1 + cos x} right)^2})( Leftrightarrow 2{left( {frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}} right)^2} = m{left( {1 + frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}} right)^2})
( Leftrightarrow 2{left( {frac{{2t + 1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}} right)^2} = m{left( {frac{2}{{1 + {t^2}}}} right)^2})
( Leftrightarrow {left( {2t + 1 – {t^2}} right)^2} = 2m) (*)
Xét (fleft( t right) = {left( {2t + 1 – {t^2}} right)^2}), (t in left[ { – 1;1} right]).
Ta có (f’left( t right) = 2left( {2t + 1 – {t^2}} right)left( {2 – 2t} right)).
(f’left( t right) = 0 Leftrightarrow 2left( {2t + 1 – {t^2}} right)left( {2 – 2t} right) = 0)( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = 1;fleft( 1 right) = 4\t = 1 – sqrt 2 ;fleft( {1 – sqrt 2 } right) = 0end{array} right.).
Bảng biến thiên
YCBT( Leftrightarrow ) phương trình (*) có nghiệm (t in left[ { – 1;1} right])
( Leftrightarrow mathop {mathop {min }limits_{t in left[ { – 1;1} right]} fleft( t right)}limits_{} le 2m le mathop {mathop {max }limits_{t in left[ { – 1;1} right]} fleft( t right)}limits_{} )( Leftrightarrow 0 le 2m le 4)( Leftrightarrow 0 le m le 2).
Vì (m in mathbb{Z})nên có 3 giá trị của (m). Chọn
C.
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số