(Đại học Hồng Đức – 2022) Tổng (S) của tất cả các nghiệm thuộc khoảng ((0;4pi )) của phương trình ({2022^{{{sin }^2}x}} – {2022^{{{cos }^2}x}} = 2ln (cot x)) là – Sách Toán

(Đại học Hồng Đức – 2022) Tổng (S) của tất cả các nghiệm thuộc khoảng ((0;4pi )) của phương trình ({2022^{{{sin }^2}x}} – {2022^{{{cos }^2}x}} = 2ln (cot x)) là

A. (S = 18pi ).

B. (S = 8pi ).

C. (S = 7pi ).

D. (S = 16pi ).

Lời giải:.

Điều kiện (cot x > 0). Ta có

(begin{array}{l}{2022^{{{sin }^2}x}} – {2022^{{{cos }^2}x}} = 2ln (cot x) Leftrightarrow {2022^{{{sin }^2}x}} – {2022^{{{cos }^2}x}} = ln left( {{{cos }^2}x} right) – ln left( {{{sin }^2}x} right)\ Leftrightarrow {2022^{{{sin }^2}x}} + ln left( {{{sin }^2}x} right) = {2022^{{{cos }^2}x}} + ln left( {{{cos }^2}x} right)end{array})

Xét hàm số (f(t) = {2022^t} + ln t) với (t > 0)

(fprime (t) = {2022^t} cdot ln 2022 + frac{1}{t} > 0,forall t > 0 Rightarrow ) hàm số (f(t)) đồng biến trên khoảng ((0; + infty )).

Khi đó ((1) Leftrightarrow fleft( {{{sin }^2}x} right) = fleft( {{{cos }^2}x} right) Leftrightarrow {sin ^2}x = {cos ^2}x Leftrightarrow cos 2x = 0 Leftrightarrow x = frac{pi }{4} + frac{{kpi }}{2},k in mathbb{Z}).

Do (cot x > 0) nên (x = frac{pi }{4} + kpi ,k in mathbb{Z}).

Mà (x in (0;4pi )) suy ra (x in left{ {frac{pi }{4};frac{{5pi }}{4};frac{{9pi }}{4}:frac{{13pi }}{4}} right}). Suy ra (S = 7pi ).