Câu hỏi:
Cho lăng trụ tam giác \(ABC.{A}'{B}'{C}’\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\), \(AB=2;AC=\sqrt{3}\). Góc \(\widehat{CA{A}’}={{90}^{0}},\widehat{BA{A}’}={{120}^{0}}\). Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(B{B}’\). Biết \(CM\) vuông góc với \({A}’B\), tính thể khối lăng trụ đã cho.
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: D
Chọn D.
.PNG)
Ta có:
\(\left\{ \begin{align}
& CA\bot AB \\
& CA\bot AA’ \\
\end{align} \right.\Rightarrow CA\bot \left( ABB’A’ \right)\)
Lại có:
\(\left\{ \begin{align}
& A’B\bot CM \\
& A’M\bot CA\left( V\grave{i}\text{ }CA\bot \left( ABB’A’ \right) \right) \\
\end{align} \right.\Rightarrow A’B\bot \left( ACM \right)\)
\(\Rightarrow A’B\bot AM\)
* Đặt \(AA’=2x\Rightarrow BM=x\)
\(\Rightarrow \) Xét \(\Delta ABM:AM=\sqrt{{{x}^{2}}+{{2}^{2}}-2.x.2.\cos 60}=\sqrt{{{x}^{2}}-2x+4}\)
\(\Rightarrow AO=\frac{2}{3}.AM=\sqrt{{{x}^{2}}-2x+4}.\frac{2}{3}\)\( \Rightarrow BO=\sqrt{{{2}^{2}}-\frac{4}{9}\left( {{x}^{2}}-2x+4 \right)}\)
\(\left. \begin{align}
& {{S}_{\Delta ABA’}}=\frac{1}{2}.2.2x.\sin 120=x\sqrt{3} \\
& {{S}_{\Delta ABA’}}=\frac{1}{2}.AO.A’B=\frac{1}{2}.\left( \frac{2}{3}\sqrt{{{x}^{2}}-2x+4} \right).3\sqrt{{{2}^{2}}-\frac{4}{9}\left( {{x}^{2}}-2x+4 \right)} \\
\end{align} \right\}\Rightarrow x=\frac{\sqrt{33}+1}{4}\)
\(\Rightarrow {{V}_{LT}}=3{{V}_{CABA’}}=\frac{3\left( \sqrt{33}+1 \right)}{4}\)
ANYMIND360
==================