Giải bài tập Bài 3: Tích của một số với một vectơ (Chân trời)
===========
Giải bài 1 trang 97 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1
Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Với M là điểm tùy ý, chứng minh rằng:
a) (overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} + overrightarrow {MC} + overrightarrow {MD} = 4overrightarrow {MO} )
b) (overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} + overrightarrow {AD} = 2overrightarrow {AC} )
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 1
Phương pháp giải
a) Sử dụng quy tắc ba điểm (overrightarrow {MA} = overrightarrow {MO} + overrightarrow {OA} ) và tính chất trung điểm (overrightarrow {OA} + overrightarrow {OC} = overrightarrow 0 )
b) Sử dụng tính chất của bình bình hành (overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} = overrightarrow {AC} )
Lời giải chi tiết
a) (overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} + overrightarrow {MC} + overrightarrow {MD} = 4overrightarrow {MO} )
( Leftrightarrow overrightarrow {MO} + overrightarrow {OA} + overrightarrow {MO} + overrightarrow {OB} + overrightarrow {MO} + overrightarrow {OC} + overrightarrow {MO} + overrightarrow {OD} = 4overrightarrow {MO} )
( Leftrightarrow 4overrightarrow {MO} + left( {overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} } right) + left( {overrightarrow {OC} + overrightarrow {OD} } right) = 4overrightarrow {MO} )
( Leftrightarrow 4overrightarrow {MO} + overrightarrow 0 + overrightarrow 0 = 4overrightarrow {MO} \ Leftrightarrow 4overrightarrow {MO} = 4overrightarrow {MO} ) (luôn đúng)
(vì O là giao điểm 2 đường chéo nên là trung điểm của AB, CD)
b) ABCD là hình bình hành nên ta có (overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} = overrightarrow {AC} )
Suy ra ()(overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} + overrightarrow {AD} = left( {overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} } right) + overrightarrow {AC} = overrightarrow {AC} + overrightarrow {AC} = 2overrightarrow {AC} ) (đpcm)
Giải bài 2 trang 97 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1
Cho tứ giác ABCD gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD . Chứng minh rằng
a) (overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} = 2overrightarrow {MN} )
b) (overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} = overrightarrow {BC} + overrightarrow {AD} )
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 2
Phương pháp giải
Chèn điểm M: (overrightarrow {AB} = overrightarrow {AM} + overrightarrow {MB} ),
Tính chất trung điểm (overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} = overrightarrow 0 )
Lời giải chi tiết
a) (overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} = overrightarrow {AM} + overrightarrow {MN} + overrightarrow {NC} + overrightarrow {BM} + overrightarrow {MN} + overrightarrow {ND} \= left( {overrightarrow {AM} + overrightarrow {BM} } right) + left( {overrightarrow {MN} + overrightarrow {MN} } right) + left( {overrightarrow {NC} + overrightarrow {ND} } right) \= overrightarrow 0 + 2overrightarrow {MN} + overrightarrow 0 = 2overrightarrow {MN} ) (đpcm)
b) (overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} = overrightarrow {BC} + overrightarrow {AD} )
()(overrightarrow {BC} + overrightarrow {AD} = overrightarrow {BM} + overrightarrow {MN} + overrightarrow {NC} + overrightarrow {AM} + overrightarrow {MN} + overrightarrow {ND} )
(left( {overrightarrow {BM} + overrightarrow {AM} } right) + left( {overrightarrow {MN} + overrightarrow {MN} } right) + left( {overrightarrow {NC} + overrightarrow {ND} } right) = 2overrightarrow {MN} )
Mặt khác ta có: (overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} = 2overrightarrow {MN} )
Suy ra (overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} = overrightarrow {BC} + overrightarrow {AD} )
Cách 2:
(begin{array}{l}
overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} = overrightarrow {BC} + overrightarrow {AD} \
Leftrightarrow overrightarrow {AC} – overrightarrow {AD} = overrightarrow {BC} – overrightarrow {BD} \
Leftrightarrow overrightarrow {DC} = overrightarrow {DC} (đpcm)
end{array})
Giải bài 3 trang 97 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1
Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định điểm M sao cho (overrightarrow {MA} + 4overrightarrow {MB} = overrightarrow 0 )
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 3
Phương pháp giải
Bước 1: Xác định hướng của hai vectơ
Bước 2: Xác định tỉ số độ dài (frac{{left| {overrightarrow {MA} } right|}}{{left| {overrightarrow {MB} } right|}})
Lời giải chi tiết
Cách 1:
(overrightarrow {MA} + 4overrightarrow {MB} = overrightarrow 0 Leftrightarrow overrightarrow {MA} = – 4overrightarrow {MB} Rightarrow frac{{MA}}{{MB}} = frac{{left| {overrightarrow {MA} } right|}}{{left| {overrightarrow {MB} } right|}} = frac{{left| { – 4overrightarrow {MB} } right|}}{{left| {overrightarrow {MB} } right|}} = 4) và hai vectơ (overrightarrow {MA} ,overrightarrow {MB} ) ngược hướng
Suy ra M nằm giữa AB sao cho (frac{{MA}}{{MB}} = 4)
Cách 2:
(begin{array}{l}
overrightarrow {MA} + 4overrightarrow {MB} = vec 0\
Leftrightarrow overrightarrow {MB} + overrightarrow {BA} + 4overrightarrow {MB} = vec 0\
Leftrightarrow 5overrightarrow {MB} = overrightarrow {AB}
end{array})
Vậy A, M, B thẳng hàng, M nằm giữa A và B sao cho (MB = frac{1}{5}AB)
Giải bài 4 trang 97 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1
Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, EF. Lấy điểm M tùy ý, chứng minh rằng (overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} + overrightarrow {MC} + overrightarrow {MD} = 4overrightarrow {MG} )
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 4
Phương pháp giải
Sử dụng quy tắc ba điểm (overrightarrow {MA} = overrightarrow {MO} + overrightarrow {OA} ) và tính chất trung điểm (overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} = overrightarrow 0 )
(với O là trung điểm của AB)
Lời giải chi tiết
(begin{array}{l}overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} + overrightarrow {MC} + overrightarrow {MD} = left( {overrightarrow {MG} + overrightarrow {GE} + overrightarrow {EA} } right) + left( {overrightarrow {MG} + overrightarrow {GE} + overrightarrow {EB} } right)\ + left( {overrightarrow {MG} + overrightarrow {GF} + overrightarrow {FC} } right) + left( {overrightarrow {MG} + overrightarrow {GF} + overrightarrow {FD} } right)end{array})
( = left( {overrightarrow {MG} + overrightarrow {MG} + overrightarrow {MG} overrightarrow { + MG} } right) + 2left( {overrightarrow {GE} + overrightarrow {GF} } right) \+ left( {overrightarrow {EA} + overrightarrow {EB} } right) + left( {overrightarrow {FC} + overrightarrow {FD} } right))
( = 4overrightarrow {MG} + 2.overrightarrow 0 + overrightarrow 0 + overrightarrow 0 = 4overrightarrow {MG} ) (đpcm)
Giải bài 5 trang 97 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1
Máy bay A đang bay về hướng Đông Bắc với tốc độ 600 km/h. Cùng lúc đó, máy bay B đang bay về hướng Tây Nam với tốc độ 800 km/h. Biểu diễn vectơ vận tốc (overrightarrow b )của máy bay B theo vectơ vận tốc (overrightarrow a ) của máy bay A
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 5
Phương pháp giải
Vecto (overrightarrow a ,;overrightarrow b ) là vecto vận tốc của máy bay A và máy bay b.
Do đó (left| {overrightarrow a } right|,;left| {overrightarrow b } right|) lần lượt là độ lớn của vecto vận tốc tương ứng.
Lời giải chi tiết
Ta có: (left| {overrightarrow a } right| = 600,;left| {overrightarrow b } right| = 800)
( Rightarrow frac{{left| {overrightarrow b } right|}}{{left| {overrightarrow a } right|}} = frac{{800}}{{600}} = frac{4}{3})
Hai hướng Đông Bắc và Tây Nam là ngược nhau, do đó (overrightarrow b = – frac{4}{3}overrightarrow a )
Giải bài 6 trang 97 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1
Cho 2 điểm phân biệt A và B
a) Xác định điểm O sao cho (overrightarrow {OA} + 3overrightarrow {OB} = overrightarrow 0 )
b) Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có (overrightarrow {MA} + 3overrightarrow {MB} = 4overrightarrow {MO} )
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 6
Phương pháp giải
a) Chèn điểm: (overrightarrow {OA} = overrightarrow {OB} + overrightarrow {BA} )
Từ đó tìm ( overrightarrow {OB}) theo (overrightarrow {AB} ) đã biết
b) Chèn điểm O, làm xuất hiện ({overrightarrow {MO} }) ở vế trái.
Lời giải chi tiết
a) (overrightarrow {OA} + 3overrightarrow {OB} = overrightarrow 0 )
(begin{array}{l}
overrightarrow {OA} + 3overrightarrow {OB} = vec 0\
Leftrightarrow overrightarrow {OB} + overrightarrow {BA} + 3overrightarrow {OB} = vec 0\
Leftrightarrow overrightarrow {OB} + 3overrightarrow {OB} = – overrightarrow {BA} \
Leftrightarrow 4overrightarrow {OB} = overrightarrow {AB} \
Leftrightarrow overrightarrow {OB} = frac{1}{4}overrightarrow {AB}
end{array})
Vậy O thuộc đoạn AB sao cho (OB = frac{1}{4}AB)
b) Ta có:
(begin{array}{l}
overrightarrow {MA} + 3overrightarrow {MB} = left( {overrightarrow {MO} + overrightarrow {OA} } right) + 3left( {overrightarrow {MO} + overrightarrow {OB} } right)\
= left( {overrightarrow {MO} + 3overrightarrow {MO} } right) + left( {overrightarrow {OA} + 3overrightarrow {OB} } right)\
= 4overrightarrow {MO} + overrightarrow 0 = 4overrightarrow {MO} . (đpcm)
end{array})
Giải bài 7 trang 97 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1
Cho tam giác ABC
a) Xác định các điểm M, N, P thỏa mãn: (overrightarrow {MB} = frac{1}{2}overrightarrow {BC} ,overrightarrow {AN} = 3overrightarrow {NB} ,overrightarrow {CP} = overrightarrow {PA} )
b) Biểu thị mỗi vectơ (overrightarrow {MN} ,overrightarrow {MP} ) theo hai vectơ (overrightarrow {BC} ,overrightarrow {BA} )
c) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 7
Phương pháp giải
a) Xác định hướng và tỉ số độ dài
(overrightarrow {MB} = k.overrightarrow {BC} Rightarrow overrightarrow {MB} ) và (overrightarrow {BC} ) cùng hướng; tỉ số độ dài (frac{{BC}}{{MB}} = k)
b) Phân tích (overrightarrow {MN}) theo hai vecto (overrightarrow {MB}, overrightarrow {NB})
c) (M,N,P) thẳng hàng ( Leftrightarrow overrightarrow {MN} = k.overrightarrow {MP} ) (left( k in {mathbb Z}^* right))
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
+) (overrightarrow {MB} = dfrac{1}{2}overrightarrow {BC} Rightarrow overrightarrow {MB} ) và (overrightarrow {BC} ) cùng hướng; tỉ số độ dài (dfrac{{BC}}{{MB}} = 2)
( Rightarrow M) nằm ngoài đoạn thẳng BC sao cho (MB = dfrac{1}{2}BC)
+) ({overrightarrow {AN} = 3overrightarrow {NB} Rightarrow overrightarrow {AB} + overrightarrow {BN} = 3overrightarrow {NB} Rightarrow 4overrightarrow {NB} = overrightarrow {AB} Leftrightarrow overrightarrow {NB} = dfrac{1}{4}overrightarrow {AB} })
( Rightarrow N) thuộc đoạn thẳng AB và (NB=dfrac{{1}}{{4}} AB)
+) (overrightarrow {CP} = overrightarrow {PA} Leftrightarrow overrightarrow {PC} + overrightarrow {PA} = overrightarrow 0 )
( Rightarrow P) là trung điểm của CA
b) (overrightarrow {MN} = overrightarrow {MB} + overrightarrow {BN} = frac{1}{2}overrightarrow {BC} + frac{1}{4}overrightarrow {BA} )
(begin{array}{l}overrightarrow {MP} = overrightarrow {MC} + overrightarrow {CP} = overrightarrow {MC} + frac{1}{2}overrightarrow {CA} \= frac{3}{2}overrightarrow {BC} + frac{1}{2}left( {overrightarrow {BA} – overrightarrow {BC} } right)\ = overrightarrow {BC} + frac{1}{2}overrightarrow {BA} end{array})
c) Ta có:
(overrightarrow {MN} = frac{1}{2}overrightarrow {BC} + frac{1}{4}overrightarrow {BA} 😉 (overrightarrow {MP} = overrightarrow {BC} + frac{1}{2}overrightarrow {BA} )
( Rightarrow overrightarrow {MP} = 2overrightarrow {MN} )
Vậy (M,N,P) thẳng hàng.