+ Sử dụng công thức (C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}), ta có
(begin{array}{l}C_{n + 1}^8 = C_n^8 + C_n^7\C_n^8 = C_{n – 1}^7 + C_{n – 1}^8\C_{n – 1}^8 = C_{n – 2}^7 + C_{n – 2}^8\…\C_9^8 = C_8^8 + C_8^7\C_8^8 = C_8^8end{array})
Cộng vế với vế ta được (C_{n + 1}^8 + C_n^8 + C_{n – 1}^8 + … + C_9^8 + C_8^8 = C_n^8 + C_n^7 + C_{n – 1}^8 + C_{n – 1}^7 + … + C_8^8 + C_8^7 + C_8^8)
Thu gọn ta được (C_8^8 + C_8^7 + … + C_n^7 = C_{n + 1}^8) mà (C_8^8 = C_7^7 = 1) nên (C_7^7 + C_8^7 + … + C_n^7 = C_{n + 1}^8)
Từ đó ta có
(720left( {C_7^7 + C_8^7 + ….C_n^7} right) = dfrac{1}{{4032}}A_{n + 1}^{10})
( Leftrightarrow 720.C_{n + 1}^8 = dfrac{1}{{4032}}A_{n + 1}^{10} Rightarrow 720.dfrac{{left( {n + 1} right)!}}{{8!left( {n – 7} right)!}} = dfrac{1}{{4032}}dfrac{{left( {n + 1} right)!}}{{left( {n – 9} right)!}})
(begin{array}{l} Leftrightarrow dfrac{1}{{56}}dfrac{{left( {n + 1} right)!}}{{left( {n – 9} right)!left( {n – 8} right)left( {n – 7} right)}} = dfrac{1}{{4032}}.dfrac{{left( {n + 1} right)!}}{{left( {n – 9} right)!}},,,,,,left( {n > 9} right)\ Leftrightarrow left( {n – 7} right)left( {n – 8} right) = 72 Leftrightarrow {n^2} – 15n + 56 = 72\ Leftrightarrow {n^2} – 15n – 16 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}n = – 1,,left( {ktm} right)\n = 16,,,left( {tm} right)end{array} right.end{array})
Với (n = 16) ta có ({left( {x – dfrac{1}{{{x^2}}}} right)^{16}} = sumlimits_{k = 0}^{16} {C_{16}^k.{x^{16 – k}}{{left( { – dfrac{1}{{{x^2}}}} right)}^k}} = sumlimits_{k = 0}^{16} {C_{16}^k.{x^{16 – k}}{x^{ – 2k}}{{left( { – 1} right)}^k} = sumlimits_{k = 0}^{16} {C_{16}^k.{x^{16 – 3k}}{{left( { – 1} right)}^k}} } )
Số hạng chứa ({x^7}) ứng với (16 – 3k = 7 Rightarrow k = 3)
Nên hệ số cần tìm là (C_{16}^3.{left( { – 1} right)^3} = – 560.)
Chọn A.