I. Phương trình lượng giác cơ bản
a) Phương trình (sin x = m).
+) Nếu (left| m right| > 1) thì phương trình vô nghiệm.
+) Nếu (left| m right| le 1) thì phương trình ( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = arcsin m + k2pi \x = pi – arcsin m + k2pi end{array} right.)
Đặc biệt: (sin x = sin alpha Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = alpha + k2pi \x = pi – alpha + k2pi end{array} right.left( {k in Z} right))
b) Phương trình (cos x = m).
+) Nếu (left| m right| > 1) thì phương trình vô nghiệm.
+) Nếu (left| m right| le 1) thì phương trình ( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = arccos m + k2pi \x = – arccos m + k2pi end{array} right.)
Đặc biệt: (cos x = cos alpha Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = alpha + k2pi \x = – alpha + k2pi end{array} right.left( {k in Z} right))
c) Phương trình (tan x = m).
Phương trình luôn có nghiệm (x = arctan m + kpi ).
Đặc biệt: (tan x = tan alpha Leftrightarrow x = alpha + kpi left( {k in Z} right))
d) Phương trình (cot x = m).
Phương trình luôn có nghiệm (x = {mathop{rm arccot}nolimits} m + kpi ).
Đặc biệt: (cot x = cot alpha Leftrightarrow x = alpha + kpi left( {k in Z} right))
e) Các trường hợp đặc biệt
( + )sin x = 0 Leftrightarrow x = kpi 😉 (cos x = 0 Leftrightarrow x = dfrac{pi }{2} + kpi )
( + )sin x = – 1 Leftrightarrow x = – dfrac{pi }{2} + k2pi 😉 (cos x = – 1 Leftrightarrow x = pi + k2pi )
( + )sin x = 1 Leftrightarrow x = dfrac{pi }{2} + k2pi 😉 (cos x = 1 Leftrightarrow x = k2pi )
II. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
– Phương trình (at + b = 0left( {a,b in R,a ne 0} right)) với (t = sin xleft( {cos x,tan x,cot x} right)) là phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác (sin ,cos ,tan ,cot ).
– Cách giải: Biến đổi (at + b = 0 Leftrightarrow t = – dfrac{b}{a}) và giải phương trình lượng giác cơ bản.
III. Kĩ năng tổng hợp và loại nghiệm bằng đường tròn lượng giác
1. Lý thuyết
2. Ví dụ
Tìm và biểu diễn các nghiệm của phương trình sau trên đường tròn lượng giác:
a) (sin left( {2x + dfrac{pi }{3}} right) = dfrac{1}{2})( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}2x + dfrac{pi }{3} = dfrac{pi }{6} + k2pi \2x + dfrac{pi }{3} = dfrac{{5pi }}{6} + k2pi end{array} right.) ( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = – dfrac{pi }{{12}} + kpi \x = dfrac{pi }{4} + kpi end{array} right.,k in mathbb{Z}).
Biểu diễn nghiệm trên đường tròn đơn vị:
Ở đó, hai điểm ({M_1},{M_2}) biểu diễn góc (x = dfrac{pi }{4} + kpi ) và hai điểm ({M_3},{M_4}) biểu diễn góc (x = – dfrac{pi }{{12}} + kpi ).
b) (dfrac{{2cos 2x}}{{1 – sin 2x}} = 0)
Điều kiện: (1 – sin 2x ne 0 Leftrightarrow sin 2x ne 1) ( Leftrightarrow 2x ne dfrac{pi }{2} + k2pi Leftrightarrow x ne dfrac{pi }{4} + kpi ).
Phương trình ( Leftrightarrow cos 2x = 0 Leftrightarrow 2x = dfrac{pi }{2} + kpi ) ( Leftrightarrow x = dfrac{pi }{4} + dfrac{{kpi }}{2}).
Biểu diễn trên đường tròn đơn vị:
Các điểm biểu diễn (x = dfrac{pi }{4} + kpi ) là ({M_1},{M_2}) nhưng điều kiện là (x ne dfrac{pi }{4} + kpi ) nên hai điểm này không lấy.
Các điểm biểu diễn (x = dfrac{pi }{4} + dfrac{{kpi }}{2}) là ({M_1},{M_2},{M_3},{M_4}) nhưng do không lấy hai điểm ({M_1},{M_2}) nên các điểm biểu diễn nghiệm chỉ còn ({M_3},{M_4}).
Dễ thấy hai điểm này đối xứng nhau qua (O) và (widehat {AO{M_4}} = – dfrac{pi }{4}) nên nghiệm của phương trình là (x = – dfrac{pi }{4} + kpi ,k in mathbb{Z}).
c) (dfrac{{sqrt 3 cot 2x – 1}}{{2cos x + 1}} = 0)
Điều kiện: (2cos x + 1 ne 0 Leftrightarrow cos x ne – dfrac{1}{2}) ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x ne dfrac{{2pi }}{3} + k2pi \x ne – dfrac{{2pi }}{3} + k2pi end{array} right.,k in mathbb{Z}).
Khi đó phương trình ( Leftrightarrow sqrt 3 cot 2x – 1 = 0 Leftrightarrow cot 2x = dfrac{1}{{sqrt 3 }}) ( Leftrightarrow cot 2x = cot dfrac{pi }{3} Leftrightarrow 2x = dfrac{pi }{3} + kpi ) ( Leftrightarrow x = dfrac{pi }{6} + dfrac{{kpi }}{2},k in mathbb{Z}).
Biểu diễn trên đường tròn đơn vị:
Ở đó, điểm (M) biểu diễn góc (x = dfrac{{2pi }}{3} + k2pi ) và điểm ({M_3}) biểu diễn góc (x = – dfrac{{2pi }}{3} + k2pi ), ta đánh dấu đỏ thể hiện không lấy hai điểm đó (do điều kiện xác định).
Các điểm ({M_1},{M_2},{M_3},{M_4}) là các điểm biểu diễn nghiệm (x = dfrac{pi }{6} + dfrac{{kpi }}{2}), trong đó không lấy điểm ({M_3}) do điều kiện xác định.
Do đó, chỉ còn lại hai điểm ({M_1},{M_2}) (với (widehat {AO{M_1}} = dfrac{pi }{6})) biểu diễn góc (x = dfrac{pi }{6} + kpi ) và điểm ({M_4}) biểu diễn góc (x = – dfrac{pi }{3} + k2pi ) (với (widehat {AO{M_4}} = – dfrac{pi }{3})).
Vậy phương trình có nghiệm (x = dfrac{pi }{6} + kpi ) hoặc (x = – dfrac{pi }{3} + k2pi ) với (k in mathbb{Z}).