Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số (y = {cos ^3}x – 3{sin ^2}x – mcos x – 1) đồng biến trên đoạn (left[ {0;dfrac{pi }{2}} right].)

Xét hàm số(y = {cos ^3}x – 3{sin ^2}x – mcos x – 1) trên (left[ {0;dfrac{pi }{2}} right]).

Ta có:

(begin{array}{*{20}{l}}{y = {{cos }^3}x – 3{{sin }^2}x – mcos x – 1}\{y = {{cos }^3}x – 3left( {1 – {{cos }^2}x} right) – mcos x – 1}\{y = {{cos }^3}x + 3{{cos }^2}x – mcos x – 4}end{array})

Đặt (t = cos x), với (x in left[ {0;dfrac{pi }{2}} right]) thì hàm số (tleft( x right) = cos x) nghịch biến trên (left[ {0;dfrac{pi }{2}} right]) và (t in left[ {0;1} right]).

Khi đó bài toán trở thành tìm(m) để hàm số (y = {t^3} + 3{t^2} – mt – 4) nghịch biến trên (left[ {0;1} right]).

(begin{array}{*{20}{l}}{ Rightarrow y’ = 3{t^2} + 6t – m le 0{mkern 1mu} {mkern 1mu} forall t in left[ {0;1} right]}\{ Leftrightarrow m ge 3{t^2} + 6t{mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} forall t in left[ {0;1} right]{mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} left( 1 right)}end{array})

Xét hàm số (fleft( t right) = 3{t^2} + 6t) trên (left[ {0;1} right]) ta có: (f’left( t right) = 6t + 6 = 0 Leftrightarrow t = {rm{;}} – 1.)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có bất đẳng thức (1) xảy ra ( Leftrightarrow m ge mathop {max }limits_{left[ {0;1} right]} fleft( t right) Leftrightarrow m ge 9.).

Chọn C.