Bài tập mũ logarit lũy thừa vận dụng cao – khó có đáp án chi tiết
Ở phần này ta xét một số Bài tập ở mức độ vận dụng, chúng ta sẽ nghiên cứu sâu hơn về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số mũ và logarit ở các chủ đề sau.
Một số bài tập trắc nghiệm VDC chương 2 lớp 12 có Lời giải chi tiết
|
Bài tập 1:[Đề thi thử nghiệm Bộ giáo dục 2017] Xét các số thực $a,b$ thỏa mãn $a>b>1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất ${{P}_{min }}$ của biểu thức $P=log _{frac{a}{b}}^{2}left( {{a}^{2}} right)+3{{log }_{b}}left( frac{a}{b} right).$ A. ${{P}_{min }}=19.$ B. ${{P}_{min }}=16.$ C. ${{P}_{min }}=14.$ D. ${{P}_{min }}=15.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $P={{left( 2{{log }_{frac{a}{b}}}a right)}^{2}}+3left( {{log }_{b}}a-1 right)=frac{4}{{{left( {{log }_{a}}frac{a}{b} right)}^{2}}}+frac{3}{{{log }_{a}}b}-3=frac{4}{{{left( 1-{{log }_{a}}b right)}^{2}}}+frac{3}{{{log }_{a}}b}-3$
Đặt $t={{log }_{a}}b$ (Do $a>b>1Rightarrow 0<t<1).$ Xét $fleft( t right)=frac{4}{{{left( t-1 right)}^{2}}}+frac{3}{t}-3$
Khi đó $f’left( t right)=frac{-8}{{{left( t-1 right)}^{3}}}-frac{3}{{{t}^{2}}}=0Leftrightarrow t=frac{1}{3}.$ Ta có: $underset{tto {{0}^{+}}}{mathop{lim }},fleft( t right)=underset{tto {{1}^{-}}}{mathop{lim }},fleft( t right)=+infty ;fleft( frac{1}{3} right)=15$
Do đó ${{P}_{min }}=15.$ Chọn D.
|
Bài tập 2: Cho các số thực dương $1>a>b>0.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=-3{{log }_{{{a}^{4}}}}frac{a}{b}+log _{b}^{2}left( ab right).$ A. ${{P}_{min }}=3$ B. ${{P}_{min }}=4$ C. ${{P}_{min }}=frac{5}{2}$ D. ${{P}_{min }}=frac{3}{2}$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $P=-frac{3}{4}{{log }_{a}}frac{a}{b}+{{left( {{log }_{b}}left( ab right) right)}^{2}}=frac{-3}{4}left( 1-{{log }_{a}}b right)+{{left( {{log }_{b}}a+1 right)}^{2}}$
Đặt $t={{log }_{b}}a$ $left( 0<t<1 right)$ ta có: $P=frac{-3}{4}left( 1-frac{1}{t} right)+{{left( t+1 right)}^{2}}=frac{1}{4}+frac{3}{4t}+{{t}^{2}}+2t=fleft( t right)$
Khi đó $f’left( t right)=frac{-3}{4{{t}^{2}}}+2t+2=0Leftrightarrow t=frac{1}{2}.$ Lại có $underset{xto {{0}^{+}}}{mathop{lim }},fleft( t right)=+infty ;underset{xto 1}{mathop{lim }},fleft( t right)=4;fleft( frac{1}{2} right)=3$
Do đó ${{P}_{min }}=3$ khi $t=frac{1}{2}.$ Chọn A.
|
Bài tập 3: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2017] Xét các số thực dương $a,b$ thỏa mãn ${{log }_{2}}frac{1-ab}{a+b}=2ab+a+b-3.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=a+2b.$ A. ${{P}_{min }}=frac{2sqrt{10}-3}{2}.$ B. ${{P}_{min }}=frac{2sqrt{10}-5}{2}.$ C. ${{P}_{min }}=frac{3sqrt{10}-7}{2}.$ D. ${{P}_{min }}=frac{2sqrt{10}-1}{2}.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: ${{log }_{2}}frac{1-ab}{a+b}=2ab+a+b-3Leftrightarrow {{log }_{2}}left( 1-ab right)-{{log }_{2}}left( a+b right)=2ab-2+a+b-1$
$Leftrightarrow {{log }_{2}}left( 1-ab right)+1+2left( 1-ab right)={{log }_{2}}left( a+b right)+a+bLeftrightarrow {{log }_{2}}left[ 2left( 1-ab right) right]+2left( 1-ab right)={{log }_{2}}left( a+b right)+a+b$
Xét hàm số $fleft( t right)={{log }_{2}}t+t$ $left( t>0 right)$ ta có: ${f}’left( t right)=frac{1}{tln 2}+1>0$ $left( forall t>0 right)$ nên hàm số $fleft( t right)$ đồng biến trên khoảng $left( 0;+infty right).$ Khi đó $fleft[ 2left( 1-ab right) right]=fleft( a+b right)Leftrightarrow 2left( 1-ab right)=a+b.$
Suy ra $2ab+a+b=2Rightarrow a=frac{2-b}{1+2b}Rightarrow P=frac{2-b}{1+2b}+2bRightarrow P’=frac{-5}{{{left( 1+2b right)}^{2}}}+2=0Rightarrow b=frac{1}{2}left( sqrt{frac{5}{2}}-1 right)$
Khi đó ${{P}_{min }}=frac{2sqrt{10}-3}{2}.$ Chọn A.
|
Bài tập 4: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2017] Xét các số thực dương $x,y$ thỏa mãn ${{log }_{3}}frac{1-xy}{x+2y}=3xy+x+2y-4.$ Tìm giá trị nhỏ nhất ${{P}_{min }}$ của $P=x+y$ A. ${{P}_{min }}=frac{9sqrt{11}-19}{9}.$ B. ${{P}_{min }}=frac{2sqrt{11}-3}{3}.$ C. ${{P}_{min }}=frac{18sqrt{11}-29}{21}.$ D. ${{P}_{min }}=frac{9sqrt{11}+19}{9}.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: ${{log }_{3}}frac{1-xy}{x+2y}=3xy+x+2y-4Leftrightarrow {{log }_{3}}left( 1-xy right)-{{log }_{3}}left( x+2y right)+3-3xy+1=x+2y$
$Leftrightarrow {{log }_{3}}3left( 1-xy right)+3-3xy={{log }_{3}}left( x+2y right)+x+2y.$
Xét hàm số $fleft( t right)={{log }_{3}}t+t$ $left( t>0 right)$ ta có: ${f}’left( t right)=frac{1}{tln 3+1}>0$ $left( forall t>0 right)$ nên hàm số $fleft( t right)$ đồng biến trên khoảng $left( 0;+infty right).$ Do đó $fleft( 3-3xy right)=fleft( x+2y right)Leftrightarrow 3-3xy=x+2y$
Khi đó $xleft( 1+3y right)=3-2yRightarrow P=y+frac{3-2y}{1+3y}Rightarrow P’left( y right)=1-frac{11}{{{left( 1+3y right)}^{2}}}=0Leftrightarrow y=frac{-1+sqrt{11}}{3}$ (do $y>0).$
Từ đó suy ra ${{P}_{min }}=Pleft( frac{-1+sqrt{11}}{3} right)=frac{2sqrt{11}-3}{3}.$ Chọn B.
|
Bài tập 5: Cho $x,y$ là các số thực thỏa mãn ${{log }_{4}}left( x+y right)+{{log }_{4}}left( x-y right)ge 1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất ${{P}_{Min}}$ của $P=2x-y$ A. ${{P}_{min }}=4.$ B. ${{P}_{min }}=-4.$ C. ${{P}_{min }}=2sqrt{3}.$ D. ${{P}_{min }}=frac{10sqrt{3}}{3}.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: ${{log }_{4}}left( x+y right)+{{log }_{4}}left( x-y right)ge 1Leftrightarrow {{x}^{2}}-{{y}^{2}}ge 4Rightarrow xge sqrt{{{y}^{2}}+4}$
Do đó $Pge 2sqrt{{{y}^{2}}+4}-y=f(y).$ . Khi đó $P’=frac{2y}{sqrt{{{y}^{2}}+4}}-1=0xrightarrow{y>0}y=frac{2}{sqrt{3}}$
Suy ra ${{P}_{min }}=2sqrt{3}.$ Chọn C.
|
Bài tập 6: Cho hai số thực dương $x,y$ thay đổi thỏa mãn hệ thức $3+ln frac{x+y+1}{3xy}=9xy-3x-3y.$ Tìm giá trị nhỏ nhất $m$ của biểu thức $P=xy.$ A. $m=frac{1}{3}.$ B. $m=1.$ C. $m=frac{1}{2}.$ D. $m=0.$ |
Lời giải chi tiết:
Từ giả thiết, ta có $3+ln frac{x+y+1}{3xy}=9xy-3x-3yLeftrightarrow 3+ln left( x+y+1 right)-ln left( 3xy right)=9xy-3x-3y$
$Leftrightarrow ln left( x+y+1 right)+3left( x+y+1 right)=ln left( 3xy right)+3left( 3xy right)Leftrightarrow fleft( x+y+1 right)=fleft( 3xy right)left( * right)$
Xét hàm số $fleft( t right)=ln t+3t$ với $t>0,$ ta có $f’left( t right)=3+frac{1}{t}>0;forall t>0Rightarrow fleft( t right)$ là hàm số đồng biến.
Khi đó $left( * right)Leftrightarrow x+y+1=3xyLeftrightarrow 3xy-1=x+yunderbrace{ge }_{AM-GM}2sqrt{xy}Leftrightarrow 3xy-2sqrt{xy}-1ge 0.$
$Leftrightarrow left( sqrt{xy}-1 right)left( 3sqrt{xy}+1 right)ge 0Leftrightarrow sqrt{xy}ge 1Leftrightarrow xyge 1Rightarrow {{P}_{min }}=1Rightarrow m=1.$ Chọn B.
|
Bài tập 7: Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn $a>1,b>1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=frac{27}{2}{{left( 2.lo{{g}_{ab}}a+{{log }_{ab}}b right)}^{2}}+4{{log }_{a}}ab.$ A. ${{P}_{min }}=36.$ B. ${{P}_{min }}=24.$ C. ${{P}_{min }}=32.$ D. ${{P}_{min }}=48.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có $P=frac{27}{2}{{left( 2.lo{{g}_{ab}}a+{{log }_{ab}}b right)}^{2}}+4{{log }_{a}}ab=frac{27}{2}{{left( frac{2}{{{log }_{a}}ab}+frac{1}{{{log }_{b}}ab} right)}^{2}}+4.{{log }_{a}}b+4.$
Đặt $t={{log }_{a}}b$ $left( t>0 right)Leftrightarrow {{log }_{b}}a=frac{1}{t},$ khi đó $P=frac{27}{2}.{{left( frac{2}{t+1}+frac{t}{t+1} right)}^{2}}+4t+4=frac{27}{2}.{{left( frac{t+2}{t+1} right)}^{2}}+4t+4.$
Xét hàm số $fleft( t right)=frac{27}{2}.{{left( frac{t+2}{t+1} right)}^{2}}+4t$ với $tin left( 0;+infty right)$
Ta có $f’left( t right)=frac{left( t-2 right){{left( 2t+5 right)}^{2}}}{{{left( t+1 right)}^{3}}};f’left( t right)=0Leftrightarrow t=2.$
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy rằng $fleft( t right)$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $fleft( 2 right)=32Rightarrow {{P}_{min }}=36.$
Chọn A.
|
Bài tập 8: Cho hai số thực $a,b$ thỏa mãn các điều kiện ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}>1$ và ${{log }_{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}left( a+b right)ge 1.$ Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=2a+4b-3$ là: A. $sqrt{10}$ B. $frac{1}{sqrt{10}}$ C. $frac{1}{2}sqrt{10}$ D. $2sqrt{10}$ |
Lời giải chi tiết:
Do ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}>1$ và ${{log }_{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}left( a+b right)ge 1$ nên $a+bge {{a}^{2}}+{{b}^{2}}Leftrightarrow {{left( a-frac{1}{2} right)}^{2}}+{{left( b-frac{1}{2} right)}^{2}}le frac{1}{2}left( 1 right)$
Ta có: $a+2b=left[ left( a-frac{1}{2} right)+2left( b-frac{1}{2} right) right]+frac{3}{2}left( 2 right)$
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski cho hai dãy số $a-frac{1}{2},b-frac{1}{2}$ và $1,2$ ta có:
$left[ {{left( a-frac{1}{2} right)}^{2}}+{{left( b-frac{1}{2} right)}^{2}} right]left( {{1}^{2}}+{{2}^{2}} right)ge {{left[ left( a-frac{1}{2} right)+2left( b-frac{1}{2} right) right]}^{2}}$
$Leftrightarrow 5left[ {{left( a-frac{1}{2} right)}^{2}}+{{left( b-frac{1}{2} right)}^{2}} right]ge {{left( a+2b-frac{3}{2} right)}^{2}}text{ }left( 3 right)$
Từ $left( 1 right)$ và $left( 3 right)$ ta có: $5.frac{1}{2}ge {{left( a+2b-frac{3}{2} right)}^{2}}Rightarrow a+2b-frac{3}{2}le frac{sqrt{10}}{2}Leftrightarrow 2a+4b-3le sqrt{10}$
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $left{ begin{align} & frac{a-frac{1}{2}}{1}=frac{b-frac{1}{2}}{2} \ & {{left( a-frac{1}{2} right)}^{2}}+{{left( b-frac{1}{2} right)}^{2}}=frac{1}{2} \ end{align} right.Rightarrow left{ begin{align} & a=frac{5+sqrt{10}}{10} \ & b=frac{5+2sqrt{10}}{10} \ end{align} right..$ Chọn A.
|
Bài tập 9: Xét các số thực $a,b$ thỏa mãn $age b>1.$ Biết rằng biểu thức $P=frac{1}{{{log }_{ab}}a}+sqrt{{{log }_{a}}frac{a}{b}}$ đạt giá trị lớn nhất khi $b={{a}^{k}}.$ Khẳng định nào sau đây đúng? A. $kin left( 0;frac{3}{2} right).$ B. $kin left( -1;0 right).$ C. $kin left( frac{3}{2};2 right).$ D. $kin left( 2;3 right).$ |
Lời giải chi tiết:
Với điều kiện $age b>1$ và $b={{a}^{k}}Rightarrow k={{log }_{a}}bRightarrow kin left( 0;1 right].$
Với $b={{a}^{k}}$ thế vào biểu thức $P$, ta được $P={{log }_{a}}ab+sqrt{{{log }_{a}}frac{a}{b}}=1+{{log }_{a}}b+sqrt{1-{{log }_{a}}b}$
$Rightarrow P=1+{{log }_{a}}{{a}^{k}}+sqrt{1-{{log }_{a}}{{a}^{k}}}=1+k+sqrt{1-k}.$ Khi đó ${{P}_{max }}Leftrightarrow {{left{ fleft( k right)=1+k+sqrt{1-k} right}}_{max }}.$
Xét hàm số $fleft( k right)$ trên khoảng $left( 0;1 right],$ ta có $f’left( k right)=1-frac{1}{2sqrt{1-k}};f’left( k right)=0Leftrightarrow k=frac{3}{4}.$
Vậy giá trị lớn nhất của $fleft( k right)$ bằng $fleft( frac{3}{4} right)=frac{9}{4}.$ Dấu = xảy ra khi $k=frac{3}{4}in left( 0;frac{3}{2} right).$ Chọn A.
|
Bài tập 10: Cho $x,y>0$ thỏa mãn ${{log }_{3}}{{left[ left( x+1 right)left( y+1 right) right]}^{y+1}}=9-left( x-1 right)left( y+1 right).$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x+2y.$ A. ${{P}_{min }}=frac{11}{2}.$ B. ${{P}_{min }}=frac{27}{5}.$ C. ${{P}_{min }}=frac{-1+6sqrt{3}}{2}.$ D. ${{P}_{min }}=-3+6sqrt{2}.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: ${{log }_{3}}{{left[ left( x+1 right)left( y+1 right) right]}^{y+1}}=9-left( x-1 right)left( y+1 right)Leftrightarrow left( y+1 right){{log }_{3}}left[ left( x+1 right)left( y+1 right) right]=9-left( x-1 right)left( y+1 right)$
$Leftrightarrow {{log }_{3}}left( x+1 right)+{{log }_{3}}left( y+1 right)=frac{9}{y+1}-left( x-1 right)Leftrightarrow {{log }_{3}}left( x+1 right)+x+1=2-{{log }_{3}}left( y+1 right)+frac{9}{y+1}$
$Leftrightarrow {{log }_{3}}left( x+1 right)+x+1={{log }_{3}}left( frac{9}{y+1} right)+frac{9}{y+1}$
Xét hàm số $fleft( t right)={{log }_{3}}t+tleft( tin left( 0;+infty right) right)$ ta có: $f’left( t right)=frac{1}{tln 3}+1>0left( forall tin left( 0;+infty right) right).$
Do đó hàm số $fleft( t right)$ đồng biến trên khoảng $left( 0;+infty right).$
Khi đó $fleft( x+1 right)=fleft( frac{9}{y+1} right)Leftrightarrow x+1=frac{9}{y+1}Rightarrow P=frac{9}{y+1}-1+2y=2left( y+1 right)+frac{9}{y+1}-3$
Mặt khác $2left( y+1 right)+frac{9}{y+1}ge 2sqrt{2left( y+1 right).frac{9}{y+1}}=6sqrt{2}Rightarrow {{P}_{min }}=6sqrt{2}-3.$ Chọn D.