Bài tập nguyên hàm của hàm hữu tỷ có đáp án chi tiết
Dưới đây là một số bài tập trắc nghiệm nguyên hàm của hàm hữu tỷ có Lời giải chi tiết
| Bài tập 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
A.${{I}_{1}}=int{frac{4}{2x-1}dx}$ B.${{I}_{2}}=int{frac{x+1}{x-1}dx}$ C.${{I}_{3}}=int{frac{2x+1}{3-4x}dx}$ D. ${{I}_{4}}=int{frac{{{x}^{2}}+x+4}{x+3}}$ |
Lời giải chi tiết
a) ${{I}_{1}}=int{frac{4}{2x-1}dx=frac{4}{2}int{frac{dleft( 2x-1 right)}{2x-1}=2ln left| 2x-1 right|+C}}$
b) ${{I}_{2}}=int{frac{x+1}{x-1}dx=int{frac{x-1+2}{x-1}dx=int{left( 1+frac{2}{x-1} right)dx=int{dx}+2int{frac{dx}{x-1}}=x+2ln left| x-1 right|+C.}}}$
c) ${{I}_{3}}=int{frac{2x+1}{3-4x}dx=int{frac{-frac{1}{2}left( 3-4x right)+frac{5}{2}}{3-4x}dx=int{left( -frac{1}{2}+frac{5}{2left( 3-4x right)} right)dx=-frac{1}{2}x+frac{5}{2}int{frac{dx}{3-4x}=}}}}$
$=-frac{1}{2}x-frac{5}{8}int{frac{dleft( 3-4x right)}{3-4x}=-frac{1}{2}x-frac{5}{8}ln left| 3-4x right|+Cto {{I}_{3}}=-frac{1}{2}x-frac{5}{8}ln left| 3-4x right|+C}$
d) ${{I}_{4}}=int{frac{{{x}^{2}}+x+4}{x+3}=int{left( x-2+frac{10}{x+3} right)}}dx=int{left( x-2 right)dx}+10int{frac{dleft( x+3 right)}{x+3}}=frac{{{x}^{2}}}{2}-2x+10ln left| x+3 right|+C.$
| Bài tập 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
A. ${{I}_{5}}=int{frac{{{x}^{3}}-x+7}{2x+5}dx}$ B. ${{I}_{6}}=int{frac{3{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+x+2}{x-1}}dx$ C. ${{I}_{7}}=int{frac{4{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+x+2}{2x+1}dx}$ |
Lời giải chi tiết
a) Chia tử số cho mẫu số ta được $frac{{{x}^{3}}-x+7}{2x+5}=frac{1}{2}{{x}^{2}}-frac{5}{4}x+frac{21}{8}-frac{frac{49}{8}}{2x+5}$
Khi đó: ${{I}_{5}}=int{frac{{{x}^{3}}-x+7}{2x+5}dx}=int{left( frac{1}{2}{{x}^{2}}-frac{5}{4}x+frac{21}{8}-frac{frac{49}{8}}{2x+5} right)dx}=int{left( frac{1}{2}{{x}^{2}}-frac{5}{4}x+frac{21}{8} right)dx-frac{49}{8}int{frac{dx}{2x+5}}}$
$=frac{1}{2}.frac{{{x}^{3}}}{3}-frac{5}{4}.frac{{{x}^{2}}}{2}+frac{21}{8}x-frac{49}{16}int{frac{dleft( 2x+5 right)}{2x+5}}=frac{{{x}^{3}}}{6}-frac{5{{x}^{2}}}{8}+frac{21x}{8}-frac{49}{16}ln left| 2x+5 right|+C.$
b) Ta có ${{I}_{6}}=int{frac{3{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+x+2}{x-1}dx}=int{left( 3{{x}^{2}}+6x+7+frac{9}{x-1} right)}dx={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+7x+9ln left| x-1 right|+C.$
c) Chia tử số cho mẫu số ta được $frac{4{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+x+2}{2x+1}=2{{x}^{2}}-{{x}^{2}}+2x-frac{1}{2}+frac{frac{5}{2}}{2x+1}$
${{I}_{7}}=int{frac{4{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+x+2}{2x+1}dx}=int{left( 2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2x-frac{1}{2}+frac{frac{5}{2}}{2x+1} right)}dx=int{left( 2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2x-frac{1}{2} right)}dx+frac{5}{2}int{frac{dx}{2x+1}}$
$=2.frac{{{x}^{4}}}{4}-frac{{{x}^{3}}}{3}+{{x}^{2}}-frac{1}{2}x+frac{5}{4}int{frac{dleft( 2x+1 right)}{2x+1}=frac{{{x}^{4}}}{2}-frac{{{x}^{3}}}{3}+{{x}^{2}}-frac{1}{2}x+frac{5}{4}ln left| 2x+1 right|}+C$
| Bài tập 3: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
A. ${{I}_{1}}=int{frac{dx}{{{x}^{2}}-2x-3}dx}$ B. ${{I}_{2}}=int{frac{2dx}{-3{{x}^{2}}+4x-1}}$ C. ${{I}_{3}}=int{frac{2x+3}{{{x}^{2}}-3x-4}dx}$ D. ${{I}_{4}}=int{frac{3x+4}{5{{x}^{2}}+6x+1}dx}$ |
Lời giải chi tiết
a) ${{I}_{1}}=int{frac{dx}{{{x}^{2}}-2x-3}}dx=int{frac{dx}{left( x+1 right)left( x-3 right)}}=frac{1}{4}int{frac{left( x+1 right)-left( x-3 right)}{left( x+1 right)left( x-3 right)}}dx=frac{1}{4}left( int{frac{dx}{x-3}}-int{frac{dx}{x+1}} right)=frac{1}{4}ln left| frac{x-3}{x+1} right|+C$
b) Ta có ${{I}_{2}}=int{frac{2dx}{-3{{x}^{2}}+4x-1}=-2int{frac{dx}{3{{x}^{2}}-4x+1}=-2int{frac{dx}{left( x-1 right)left( 3x-1 right)}=frac{-2}{4}int{frac{left( 3x-1 right)-3left( x-1 right)}{left( x-1 right)left( 3x-1 right)}dx}}}}$
$=-frac{1}{2}left( int{frac{dx}{x-1}}-3int{frac{dx}{3x-1}} right)=-frac{1}{2}ln left| x-1 right|+frac{1}{2}int{frac{dleft( 3x-1 right)}{3x-1}}=-frac{1}{2}lnleft| x-1 right|+frac{1}{2}ln left| 3x-1 right|+C=frac{1}{2}ln left| frac{3x-1}{x-1} right|+C.$
c) ${{I}_{3}}=int{frac{2x+3}{{{x}^{2}}-3x-4}dx}$
Cách 1:
Nhận thấy mẫu số có hai nghiệm $x=-1$ và $x=4$, khi đó $frac{2x+3}{{{x}^{2}}-3x-4}=frac{2x+3}{left( x+1 right)left( x-4 right)}=frac{A}{x+1}+frac{B}{x-4}$
Đồng nhất ta được $2x+3equiv Aleft( x-4 right)+Bleft( x+1 right)to left{ begin{array} {} 2=A+B \ {} 3=-4A+B \ end{array} right.leftrightarrow left{ begin{array} {} A=-frac{1}{5} \ {} B=frac{11}{5} \ end{array} right.$
$Rightarrow {{I}_{3}}=int{frac{2x+3}{{{x}^{2}}-3x-4}dx=int{left( frac{-frac{1}{5}}{x+1}+frac{frac{11}{5}}{x-4} right)dx}=-frac{1}{5}int{frac{dx}{x+1}}+frac{11}{5}int{frac{dx}{x-4}}=-frac{1}{5}ln left| x+1 right|}+frac{11}{5}ln left| x-4 right|+C.$
Vậy ${{I}_{3}}=-frac{1}{5}ln left| x+1 right|+frac{11}{5}ln left| x-4 right|+C$
Cách 2:
Do mẫu số có đạo hàm là 2x – 3 nên ta sẽ phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu như sau:
${{I}_{3}}=int{frac{2x+3}{{{x}^{2}}-3x-4}}dx=int{frac{2x-3+6}{{{x}^{2}}-3x-4}dx}=int{frac{left( 2x-3 right)dx}{{{x}^{2}}-3x-4}}+6int{frac{dx}{{{x}^{2}}-3x-4}}=int{frac{dleft( {{x}^{2}}-3x-4 right)}{{{x}^{2}}-3x-4}}+6int{frac{dx}{left( x+1 right)left( x-4 right)}}$$=ln left| {{x}^{2}}-3x-4 right|+frac{6}{5}int{frac{left( x+1 right)-left( x-4 right)}{left( x+1 right)left( x-4 right)}dx}=ln left| {{x}^{2}}-3x-4 right|+frac{6}{5}left( int{frac{dx}{x-4}}-int{frac{dx}{x+1}} right)=ln left| {{x}^{2}}-3x-4 right|+frac{6}{5}ln left| frac{x-4}{x+1} right|+C$ Nhận xét:
Nhìn hai cách giải, thoạt nhìn chúng ta lầm tưởng là bài toán ra hai đáp số. Nhưng, chỉ bằng một vài phép biến đổi logarit đơn giản ta có ngay cùng kết quả.
Thật vậy, thao cách 2 ta có:
$ln left| {{x}^{2}}-3x-4 right|+frac{6}{5}ln left| frac{x-4}{x+1} right|=ln left| x-4 right|+ln left| x+1 right|+frac{6}{5}ln left| x-4 right|-frac{6}{5}ln left| x+1 right|+C=-frac{1}{5}ln left| x+1 right|+frac{11}{5}ln left| x-4 right|.$
Rõ ràng, chúng ta thấy ngay ưu điểm của cách 2 là không phải đồng nhất, và cùng không cần đến giấy nháp ta có thể giải quyết nhanh gọn bài toán, và đó là điều mà tôi mong muốn các bạn thực hiện được!
d) ${{I}_{4}}=int{frac{3x+4}{5{{x}^{2}}+6x+1}}dx=int{frac{3x+4}{left( x+1 right)left( 5x+1 right)}dx}$
$frac{3x+4}{left( x+1 right)left( 5x+1 right)}=frac{A}{x+1}+frac{B}{5x+1}to 3x+4equiv Aleft( 5x+1 right)+Bleft( x+1 right)leftrightarrow left{ begin{array} {} 3=5A+B \ {} 4=A+B \ end{array} right.to left{ begin{array} {} A=-frac{1}{4} \ {} B=frac{17}{4} \ end{array} right.$
Từ đó ${{I}_{4}}=int{frac{3x+4}{left( x+1 right)left( 5x+6 right)}dx}=int{left( -frac{1}{4left( x+1 right)}+frac{17}{4left( 5x+1 right)} right)dx}=-frac{1}{4}int{frac{dx}{x+1}}+frac{17}{4}int{frac{dx}{5x+1}}$
$to {{I}_{4}}=-frac{1}{4}ln left| x+1 right|+frac{17}{20}ln left| 5x+1 right|+C$
Do mẫu số có đạo hàm là $10x+6$ nên ta sẽ phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu như sau:
${{I}_{4}}=int{frac{3x+4}{5{{x}^{2}}+6x+1}dx}=int{frac{frac{3}{10}left( 10x+6 right)+frac{22}{10}}{5{{x}^{2}}+6x+1}dx}=frac{3}{10}int{frac{left( 10x+6 right)}{5{{x}^{2}}+6x+1}dx}+frac{22}{10}int{frac{dx}{5{{x}^{2}}+6x+1}}$
$=frac{3}{10}int{frac{dleft( 5{{x}^{2}}+6x+1 right)}{5{{x}^{2}}+6x+1}+frac{22}{10}int{frac{dx}{left( 5x+1 right)left( x+1 right)}=frac{3}{10}ln left| 5{{x}^{2}}+6x+1 right|-frac{22}{40}int{frac{left( 5x+1 right)-5left( x+1 right)}{left( 5x+1 right)left( x+1 right)}dx}}}$
$=frac{3}{10}ln left| 5{{x}^{2}}+6x+1 right|-frac{22}{40}left( int{frac{dx}{x+1}}-int{frac{5x}{5x+1}} right)=frac{3}{10}ln left| 5{{x}^{2}}+6x+1 right|-frac{11}{20}ln left| frac{x+1}{5x+1} right|+C.$
| Bài tập 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
A. ${{I}_{5}}=int{frac{4{{x}^{3}}+2x-1}{{{x}^{2}}-1}dx}$ B. ${{I}_{6}}=int{frac{5-x}{3-2x-{{x}^{2}}}dx}$ |
Lời giải chi tiết
Do tử số có bậc lớn hơn mẫu nên chia đa thức ta được ${{I}_{5}}=int{frac{4{{x}^{3}}+2x-1}{{{x}^{2}}-1}dx}=int{left( 4x+frac{6x-1}{{{x}^{2}}-1} right)dx}$
Mà $frac{6x-1}{{{x}^{2}}-1}=frac{6x-1}{left( x-1 right)left( x+1 right)}=frac{A}{x+1}+frac{B}{x-1}Rightarrow 6x-1equiv Aleft( x-1 right)+Bleft( x+1 right)Leftrightarrow left{ begin{array} {} 6=A+B \ {} -1=-A+B \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} A=frac{7}{2} \ {} B=frac{5}{2} \ end{array} right.$
$to {{I}_{5}}=int{left( 4x+frac{7}{2left( x+1 right)}+frac{5}{2left( x-1 right)} right)dx=2{{x}^{2}}+frac{7}{2}ln left| x+1 right|+frac{5}{2}ln left| x-1 right|+C}$
b) Ta có: $frac{5-x}{3-2x-{{x}^{2}}}=frac{x-5}{{{x}^{2}}+2x-3}=frac{x-5}{left( x-1 right)left( x+3 right)}=frac{A}{x-1}+frac{B}{x+3}to x-5equiv Aleft( x+3 right)+Bleft( x-1 right)$
$to left{ begin{array} {} 1=A+B \ {} -5=3A-B \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} A=-1 \ {} B=2 \ end{array} right.to {{I}_{6}}=int{frac{5-x}{3-2x-{{x}^{2}}}dx}=int{left( frac{-1}{x-1}+frac{2}{x+3} right)}dx=-int{frac{dx}{x-1}}+2int{frac{dx}{x+3}}$
$=-ln left| x-1 right|+2ln left| x+3 right|+C=ln left| frac{{{left( x-3 right)}^{2}}}{x-1} right|+Cto {{I}_{6}}=ln left| frac{{{left( x-3 right)}^{2}}}{x-1} right|+C$ .
| Bài tập 5: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
A. ${{I}_{1}}=int{frac{2dx}{{{x}^{2}}-2x+1}}$ B. ${{I}_{2}}=int{frac{dx}{6{{x}^{2}}+9x+1}}$ C. ${{I}_{3}}=int{frac{dx}{25{{x}^{2}}-10x+1}}$ |
Lời giải chi tiết
a) ${{I}_{1}}=int{frac{2dx}{{{x}^{2}}-2x+1}}=2int{frac{dx}{{{left( x-1 right)}^{2}}}=2int{frac{dleft( x-1 right)}{{{left( x-1 right)}^{2}}}}=-frac{2}{x-1}+Cto {{I}_{1}}=-frac{2}{x-1}+C}$
b) ${{I}_{2}}=int{frac{dx}{6{{x}^{2}}+9x+1}=int{frac{dx}{{{left( 3x+1 right)}^{2}}}=frac{1}{3}int{frac{dleft( 3x+1 right)}{{{left( 3x+1 right)}^{2}}}}=-frac{1}{3left( 3x+1 right)}+Cto {{I}_{2}}=-frac{1}{3left( 3x+1 right)}+C.}}$
c) ${{I}_{3}}=int{frac{dx}{25{{x}^{2}}-10x+1}=int{frac{dx}{{{left( 5x-1 right)}^{2}}}=frac{1}{5}int{frac{dleft( 5x-1 right)}{{{left( 5x-1 right)}^{2}}}=-frac{1}{5left( 5x-1 right)}+Cto {{I}_{3}}=-frac{1}{5left( 5x-1 right)}+C}}}$
| Bài tập 6: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a. ${{I}_{4}}=int{frac{2x-1}{4{{x}^{2}}+4x+1}dx}$ b. ${{I}_{5}}=int{frac{4{{x}^{2}}-3}{4{{x}^{2}}+12x+9}dx}$ c. ${{I}_{6}}=int{frac{1-5x}{9{{x}^{2}}-24x+16}dx}$ |
Lời giải chi tiết
a) ${{I}_{4}}=int{frac{2x-1}{4{{x}^{2}}+4x+1}dx}=int{frac{2x-1}{{{left( 2x+1 right)}^{2}}}dx}$
Đặt $t=2x+1to left{ begin{array} {} 2x=t-1 \ {} dt=2dx \ end{array} right.to {{I}_{4}}=int{frac{2x-1}{{{left( 2x+1 right)}^{2}}}dx}=int{frac{t-2}{{{t}^{2}}}frac{dt}{2}}=frac{1}{2}left( int{frac{dt}{t}}-int{frac{2dt}{{{t}^{2}}}} right)=frac{1}{2}ln left| t right|+frac{1}{t}+C$
$to {{I}_{4}}=frac{1}{2}ln left| 2x+1 right|+frac{1}{2x+1}+C$ .
${{I}_{4}}=int{frac{2x-1}{4{{x}^{2}}+4x+1}dx}=int{frac{frac{1}{4}left( 8x+4 right)-2}{4{{x}^{2}}+4x+1}dx}=frac{1}{4}int{frac{left( 8x+4 right)}{4{{x}^{2}}+4x+1}dx}-2int{frac{dx}{{{left( 2x+1 right)}^{2}}}}$
$=frac{1}{4}int{frac{dleft( 4{{x}^{2}}+4x+1 right)}{4{{x}^{2}}+4x+1}}=-int{frac{dleft( 2x+1 right)}{{{left( 2x+1 right)}^{2}}}=frac{1}{4}int{frac{dleft( 4{{x}^{2}}+4x+1 right)}{4{{x}^{2}}+4x+1}}-int{frac{dleft( 2x+1 right)}{{{left( 2x+1 right)}^{2}}}}}$
$=frac{1}{4}ln left| 4{{x}^{2}}+4x+1 right|+frac{1}{2x+1}+C=frac{1}{2}ln left| 2x+1 right|+frac{1}{2x+1}+C$
b) ${{I}_{5}}=int{frac{4{{x}^{2}}-3}{4{{x}^{2}}+12x+9}dx}=int{left( 1-frac{12x+12}{4{{x}^{2}}+12x+9} right)dx}-12int{frac{dx}{{{left( 2x+3 right)}^{2}}}}=x-6int{frac{dleft( 2x+3 right)}{{{left( 2x+3 right)}^{2}}}=x+frac{6}{2x+3}}+C$
c) ${{I}_{6}}=int{frac{1-5x}{9{{x}^{2}}-24x+16}dx}=int{frac{1-5x}{{{left( 3x-4 right)}^{2}}}dx}$
Đặt $t=3x-4to left{ begin{array} {} x=frac{t+4}{3} \ {} dt=3dx \ end{array} right.to {{I}_{6}}=int{frac{1-5x}{{{left( 3x-4 right)}^{2}}}dx}=int{frac{1-frac{5left( t+4 right)}{3}}{{{t}^{2}}}frac{dt}{3}}=-frac{1}{9}int{frac{5t+17}{{{t}^{2}}}dt}$
$=-frac{1}{9}left( 5ln left| t right|-frac{17}{t} right)+Cto {{I}_{6}}=-frac{1}{9}left( 5ln left| 3x-4 right|-frac{17}{3x-4} right)+C=-frac{5}{9}ln left| 3x-4 right|+frac{17}{9left( 3x-4 right)}+C$
${{I}_{6}}=int{frac{1-5x}{{{left( 3x-4 right)}^{2}}}dx}=int{frac{-frac{5}{3}left( 3x-4 right)-frac{17}{3}}{{{left( 3x-4 right)}^{2}}}dx}=-frac{5}{3}int{frac{dx}{3x-4}}-frac{17}{3}int{frac{dx}{{{left( 3x-4 right)}^{2}}}=}$
$=-frac{5}{9}int{frac{dleft( 3x-4 right)}{left( 3x-4 right)}}-frac{17}{9}int{frac{dleft( 3x-4 right)}{{{left( 3x-4 right)}^{2}}}}=-frac{5}{9}ln left| 3x-4 right|+frac{17}{9}.frac{1}{3x-4}+C$
$to {{I}_{6}}=-frac{5}{9}ln left| 3x-4 right|+frac{17}{9left( 3x-4 right)}+C$
| Bài tập 7: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a. ${{I}_{1}}=int{frac{dx}{{{x}^{2}}+2x+3}}$ b. ${{I}_{2}}=int{frac{dx}{4{{x}^{2}}+4x+2}}$ c. ${{I}_{3}}=int{frac{dx}{9{{x}^{2}}+24x+20}}$ |
Lời giải chi tiết
a) ${{I}_{1}}=int{frac{dx}{{{x}^{2}}+2x+3}}=int{frac{dx}{{{left( x+1 right)}^{2}}+2}}=int{frac{dleft( x+1 right)}{{{left( x+1 right)}^{2}}+{{left( sqrt{2} right)}^{2}}}}=frac{1}{sqrt{2}}arctan left( frac{x+1}{sqrt{2}} right)+C$
b) ${{I}_{2}}=int{frac{dx}{4{{x}^{2}}+4x+2}}=int{frac{dx}{{{left( 2x+1 right)}^{2}}+1}}=frac{1}{2}int{frac{dleft( 2x+1 right)}{{{left( 2x+1 right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=frac{1}{2}arctan left( 2x+1 right)+C$
c) ${{I}_{3}}=int{frac{dx}{9{{x}^{2}}+24x+20}}=int{frac{dx}{{{left( 3x+4 right)}^{2}}+4}}=int{frac{dleft( 3x+4 right)}{{{left( 3x+4 right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=frac{1}{2}arctanleft( frac{3x+4}{2} right)+C$
| Bài tập 8: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a. ${{I}_{4}}=int{frac{3x+5}{2{{x}^{2}}+x+10}dx}$ b. ${{I}_{5}}=int{frac{4x-1}{6{{x}^{2}}+9x+4}dx}$ c. ${{I}_{6}}=int{frac{2{{x}^{4}}-x}{{{x}^{2}}+2x+7}}dx$ |
Lời giải chi tiết
a) ${{I}_{4}}=int{frac{3x+5}{2{{x}^{2}}+x+10}dx}=int{frac{frac{3}{4}left( 4x+1 right)+frac{17}{4}}{2{{x}^{2}}+x+10}dx}=frac{3}{4}int{frac{left( 4x+1 right)dx}{2{{x}^{2}}+x+10}}+frac{17}{4}int{frac{dx}{2{{x}^{2}}+x+10}}$
$=frac{3}{4}int{frac{dleft( 2{{x}^{2}}+x+10 right)}{2{{x}^{2}}+x+10}}+frac{17}{8}int{frac{dx}{{{x}^{2}}+frac{x}{2}+5}}=frac{3}{4}ln left( 2{{x}^{2}}+x+10 right)+frac{17}{8}int{frac{dx}{{{left( x+frac{1}{4} right)}^{2}}+frac{79}{16}}}$
$=frac{3}{4}ln left( 2{{x}^{2}}+x+10 right)+frac{17}{8}int{frac{dleft( x+frac{1}{4} right)}{{{left( x+frac{1}{4} right)}^{2}}+{{left( frac{sqrt{79}}{4} right)}^{2}}}}=frac{3}{4}ln left( 2{{x}^{2}}+x+10 right)+frac{17}{8}.frac{4}{sqrt{79}}arctan left( frac{4x+1}{sqrt{79}} right)+C$
Vậy ${{I}_{4}}=frac{3}{4}ln left( 2{{x}^{2}}+x+10 right)+frac{17}{2sqrt{79}}arctan left( frac{4x+1}{sqrt{79}} right)+C$
b) ${{I}_{5}}=int{frac{4x-1}{6{{x}^{2}}+9x+4}dx}=int{frac{frac{1}{3}left( 12x+9 right)-4}{6{{x}^{2}}+9x+4}dx}=frac{1}{3}int{frac{left( 12x+9 right)dx}{6{{x}^{2}}+9x+4}dx}-4int{frac{dx}{6{{x}^{2}}+9x+4}}$
$=frac{1}{3}int{frac{dleft( 6{{x}^{2}}+9x+4 right)}{6{{x}^{2}}+9x+4}dx}-4int{frac{dx}{{{left( 3x+1 right)}^{2}}+3}}=frac{1}{3}ln left( 6{{x}^{2}}+9x+4 right)-frac{4}{3}int{frac{dleft( 3x+1 right)}{{{left( 3x+1 right)}^{2}}+{{left( sqrt{3} right)}^{2}}}}$
$=frac{1}{3}ln left( 6{{x}^{2}}+9x+4 right)-frac{4}{3}.frac{1}{sqrt{3}}arctan left( frac{3x+1}{sqrt{3}} right)+C$
$Rightarrow {{I}_{5}}=frac{1}{3}ln left( 6{{x}^{2}}+9x+4 right)-frac{4}{3sqrt{3}}arctan left( frac{3x+1}{sqrt{3}} right)+C$
c) ${{I}_{6}}=int{frac{2{{x}^{4}}-x}{{{x}^{2}}+2x+7}dx}=int{left( 2{{x}^{2}}-4x+1+frac{25x-7}{{{x}^{2}}+2x+7} right)dx}=frac{2{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+x+int{frac{25x-7}{{{x}^{2}}+2x+7}dx}$
Đặt $J=int{frac{25x-7}{{{x}^{2}}+2x+7}dx}=int{frac{frac{25}{2}left( 2x+2 right)-32}{{{x}^{2}}+2x+7}dx}=frac{25}{2}int{frac{left( 2x+2 right)dx}{{{x}^{2}}+2x+7}dx}-32int{frac{dx}{{{x}^{2}}+2x+7}}$
$=frac{25}{2}int{frac{dleft( {{x}^{2}}+2x+7 right)}{{{x}^{2}}+2x+7}}-int{frac{dx}{{{left( x+1 right)}^{2}}+6}=frac{25}{2}}ln left( {{x}^{2}}+2x+7 right)-32int{frac{d(x+1)}{{{left( x+1 right)}^{2}}+{{left( sqrt{6} right)}^{2}}}}$
$=frac{25}{2}int{frac{dleft( {{x}^{2}}+2x+7 right)}{{{x}^{2}}+2x+7}}-frac{32}{sqrt{6}}arctan frac{x+1}{sqrt{6}}$
$Rightarrow {{I}_{6}}=frac{2{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+x+frac{25}{2}ln left( {{x}^{2}}+2x+7 right)-frac{32}{sqrt{6}}arctan left( frac{x+1}{sqrt{6}} right)+C$
Tổng kết:
Qua ba phần trình bày về hàm phân thức có mẫu số là bậc hai, chúng ta nhận thấy điểm mấu chốt giải quyết bài toán là xử lý mẫu số.
Nếu $frac{Pleft( x right)}{a{{x}^{2}}+bx+c}leftlangle begin{array} {} a{{x}^{2}}+bx+c=aleft( x-{{x}_{1}} right)left( x-{{x}_{2}} right)to frac{Pleft( x right)}{a{{x}^{2}}+bx+c}=frac{1}{a}left( frac{A}{x-{{x}_{1}}}+frac{B}{x-{{x}_{2}}} right) \ {} a{{x}^{2}}+bx+c={{left( mx+n right)}^{2}}+{{k}^{2}}to int{frac{du}{{{u}^{2}}+{{alpha }^{2}}}=frac{1}{alpha }arctan frac{u}{alpha }+C} \ {} a{{x}^{2}}+bx+c={{left( mx+n right)}^{2}}to int{frac{du}{{{u}^{2}}}}=-frac{1}{u}+C \ end{array} right.$
| Bài tập 9: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a. ${{I}_{1}}=int{frac{dx}{left( x-2 right)left( {{x}^{2}}-9 right)}}$ b. ${{I}_{2}}=int{frac{6{{x}^{2}}+x-2}{xleft( {{x}^{2}}-1 right)}dx}$ c. ${{I}_{3}}=int{frac{3{{x}^{4}}-{{x}^{2}}+3z-7}{xleft( {{x}^{2}}+x-2 right)}dx}$ |
Lời giải chi tiết
a) ${{I}_{1}}=int{frac{dx}{left( x-2 right)left( {{x}^{2}}-9 right)}}$=$int{frac{dx}{left( x-2 right)left( x+3 right)left( x-3 right)}}$
Ta có $frac{1}{left( x-2 right)left( x+3 right)left( x-3 right)}=frac{A}{x-2}+frac{B}{x+3}+frac{C}{x-3}Rightarrow 1equiv Aleft( {{x}^{2}}-9 right)+Bleft( x-2 right)left( x-3 right)+Cleft( x-2 right)left( x+3 right)$
$Leftrightarrow left{ begin{array} {} 0=A+B+C \ {} 0=-5B+C \ {} 1=-9A+6B-6C \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} A=-frac{1}{5} \ {} B=frac{1}{30} \ {} C=frac{1}{6} \ end{array} right.$
Nhận xét:
Ngoài cách giải truyền thống trên, chúng ta có thể biến đổi cách khác như sau mà không mất nhiều thời gian cho việc tính toán. Suy nghĩ:
${{I}_{1}}=int{frac{dx}{left( x-2 right)left( x+3 right)left( x-3 right)}}=frac{1}{6}int{frac{left( x+3 right)-left( x-3 right)}{left( x-2 right)left( x+3 right)left( x-3 right)}dx}=frac{1}{6}int{frac{dx}{left( x-2 right)left( x-3 right)}dx}-frac{1}{6}int{frac{dx}{left( x-2 right)left( x+3 right)}}$
Đến đây, bài toán trở về các dạng biến đổi đơn giản đã xét đến!
b) ${{I}_{2}}=int{frac{6{{x}^{2}}+x-2}{xleft( {{x}^{2}}-1 right)}dx}=int{frac{6{{x}^{2}}+x-2}{xleft( x+1 right)left( x-1 right)}dx}$
Ta có $frac{6{{x}^{2}}+x-2}{xleft( x+1 right)left( x-1 right)}=frac{A}{x}+frac{B}{x+1}+frac{C}{x-1}to 6{{x}^{2}}+x-2equiv Aleft( {{x}^{2}}-1 right)+Bxleft( x-1 right)+Cxleft( x+1 right)$
$Leftrightarrow left{ begin{array} {} 6=A+B+C \ {} 1=-B+C \ {} -2=-A \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} A=2 \ {} B=frac{3}{2} \ {} C+frac{5}{2} \ end{array} right.to {{I}_{2}}=int{left( frac{2}{x}+frac{frac{3}{2}}{x+1}+frac{frac{5}{2}}{x-1} right)dx}=2ln left| x right|+frac{3}{2}ln left| x+1 right|+frac{5}{2}ln left| x-1 right|+C$
${{I}_{2}}=int{frac{6{{x}^{2}}+x-2}{xleft( {{x}^{2}}-1 right)}dx}=int{frac{2left( 3{{x}^{2}}-1 right)+left( x-1 right)+1}{{{x}^{3}}-x}dx}=2int{frac{left( 3{{x}^{2}}-1 right)dx}{{{x}^{3}}-x}dx}+int{frac{left( x-1 right)dx}{{{x}^{3}}-x}}+int{frac{dx}{{{x}^{3}}-x}=}$
$=2int{frac{dleft( {{x}^{3}}-x right)}{{{x}^{3}}-x}dx}+int{frac{dx}{xleft( x+1 right)}}+int{frac{dx}{xleft( x-1 right)left( x+1 right)}}=2ln left| {{x}^{3}}-x right|+J+K$
$J=int{frac{dx}{xleft( x+1 right)}}=int{frac{left( x+1 right)-x}{xleft( x+1 right)}dx}=int{left( frac{1}{x}-frac{1}{x+1} right)dx}=ln left| x right|-ln left| x+1 right|=ln left| frac{x}{x+1} right|$
$K=int{frac{dx}{xleft( x-1 right)left( x+1 right)}}=int{frac{left( x+1 right)-x}{xleft( x-1 right)left( x+1 right)}dx}=int{frac{dx}{xleft( x-1 right)}}-int{frac{dx}{left( x+1 right)left( x-1 right)}=}$
$=int{frac{x-left( x-1 right)}{xleft( x-1 right)}dx}-frac{1}{2}int{frac{left( x+1 right)-left( x-1 right)}{left( x+1 right)left( x-1 right)}dx}=int{frac{x-left( x-1 right)}{xleft( x-1 right)}dx}-frac{1}{2}int{frac{left( x+1 right)-left( x-1 right)}{left( x+1 right)left( x-1 right)}dx}$
$=int{left( frac{1}{x-1}-frac{1}{x} right)dx}-frac{1}{2}int{left( frac{1}{x-1}-frac{1}{x+1} right)dx}=ln left| frac{x-1}{x} right|-frac{1}{2}ln left| frac{x-1}{x+1} right|$
Từ đó ta được ${{I}_{2}}=2ln left| {{x}^{3}}-x right|+ln left| frac{x}{x+1} right|+ln left| frac{x-1}{x} right|-frac{1}{2}ln left| frac{x-1}{x+1} right|+C$
Nhận xét: Cách phân tích như trên vẫn chưa thực sự tối ưu, xin dành cho các bạn đọc!
c) ${{I}_{3}}=int{frac{3{{x}^{4}}-{{x}^{2}}+3x-7}{xleft( {{x}^{2}}+x-2 right)}dx}=int{left[ 3x-3frac{8{{x}^{2}}-3x+7}{xleft( {{x}^{2}}+x-2 right)} right]dx}=frac{3{{x}^{2}}}{2}-3x+J$
Với $J=int{frac{8{{x}^{2}}-3x+7}{xleft( {{x}^{2}}+x-2 right)}dx}=int{frac{8{{x}^{2}}-3x+7}{xleft( x-1 right)left( x+2 right)}dx}$
Ta có: $frac{8{{x}^{2}}-3x+7}{xleft( x-1 right)left( x+2 right)}=frac{A}{x}+frac{B}{x-1}+frac{C}{x+2}to 8{{x}^{2}}-3x+7equiv Aleft( x-1 right)left( x+2 right)+Bxleft( x+2 right)+Cxleft( x-1 right)$
$Leftrightarrow left{ begin{array} {} 8=A+B+C \ {} -3=A+2B-C \ {} 7=-2A \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} A=-frac{7}{2} \ {} B=4 \ {} C=frac{15}{2} \ end{array} right.Rightarrow J=-frac{7}{2}ln left| x right|+4ln left| x-1 right|+frac{15}{2}ln left| x+2 right|+C.$
Vậy ${{I}_{3}}=frac{3{{x}^{2}}}{2}-3x-frac{7}{2}ln left| x right|+4ln left| x-1 right|+frac{15}{2}ln left| x+2 right|+C$
Bài tập 10: Tìm nguyên hàm:$I=int{frac{4x+1}{2x+3}dx}$
A. $I=2x-ln left| 2x+3 right|+C$ B. $I=2x-frac{1}{2}ln left| 2x+3 right|+C$
C. $I=x-frac{1}{2}ln left| 2x+3 right|+C$ D. $I=x-ln left| 2x+3 right|+C$
Lời giải chi tiết
Ta có: $I=int{frac{4x+1}{2x+3}dx}=int{frac{2left( 2x+1 right)-1}{2x+3}dx}=int{2dx}-int{frac{dx}{2x+3}}=2x-frac{1}{2}ln left| 2x+3 right|+C.$ Chọn B.
Bài tập 11: Tính nguyên hàm:$I=int{frac{3{{x}^{2}}+2x+1}{x+1}dx}$
A. $I=frac{3}{2}{{x}^{2}}+x+ln left| x+1 right|+C$ B. $I=frac{3}{2}{{x}^{2}}-x-2ln left| x+1 right|+C$
C. $I=frac{3}{2}{{x}^{2}}-2x+ln left| x+1 right|+C$ D. $I=frac{3}{2}{{x}^{2}}-x+2ln left| x+1 right|+C$
Lời giải chi tiết
Ta có: $frac{3{{x}^{2}}+2x+1}{x+1}=frac{3xleft( x+1 right)-left( x+1 right)+2}{x+1}=3x-1+frac{2}{x+1}$
Khi đó $I=frac{3}{2}{{x}^{2}}-x+2ln left| x+1 right|+C.$ Chọn D.
Bài tập 12: Tính nguyên hàm:$I=int{frac{dx}{2{{x}^{2}}+x-1}.}$
A. $I=frac{1}{3}ln left| frac{2x-1}{x+1} right|+C$ B. $I=ln left| frac{2x-1}{x+1} right|+C$ C. $I=frac{2}{3}ln left| frac{2x-1}{x+1} right|+C$ D. $I=frac{1}{3}ln frac{{{left( 2x-1 right)}^{2}}}{x+1}+C$
Lời giải chi tiết
Ta có: $I=int{frac{dx}{2{{x}^{2}}+x-1}}=int{frac{dx}{left( 2x-1 right)left( x+1 right)}}=frac{1}{3}int{frac{2left( x+1 right)-left( 2x-1 right)}{left( 2x-1 right)left( x+1 right)}dx}$
$=frac{1}{3}int{left( frac{2}{2x-1}-frac{1}{x+1} right)dx}=frac{1}{3}int{frac{2dx}{2x-1}}-frac{1}{3}int{frac{dx}{x+1}}=frac{1}{3}ln left| 2x-1 right|-frac{1}{3}ln left| x+1 right|+C=frac{1}{3}ln left| frac{2x-1}{x+1} right|+C$. Chọn A.
Bài tập 13: Tính nguyên hàm:$I=int{frac{x-5}{{{x}^{2}}-1}dx.}$
A. $I=frac{3}{2}ln left| frac{x+1}{x-1} right|+C$ B. $I=frac{3}{2}ln left| frac{x-1}{x+1} right|+C$ C. $I=ln left| frac{{{left( x+1 right)}^{3}}}{{{left( x-1 right)}^{2}}} right|+C$ D. $I=ln left| frac{{{left( x+1 right)}^{2}}}{{{left( x-1 right)}^{3}}} right|+C$
Lời giải chi tiết
Ta có: $frac{x-5}{{{x}^{2}}-1}=frac{A}{x-1}+frac{B}{x+1}=frac{left( A+B right)x+A-B}{{{x}^{2}}-1}$
Đồng nhất 2 vế ta có: $left{ begin{array} {} A+B=1 \ {} A-B=-5 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} A=-2 \ {} B=3 \ end{array} right.$
Suy ra $I=int{left( frac{3}{x+1}-frac{2}{x-1} right)dx}=3ln left| x+1 right|-2ln left| x-1 right|+C=ln left| frac{{{left( x+1 right)}^{3}}}{{{left( x-1 right)}^{2}}} right|+C.$ Chọn C.
Bài tập 14: Tính nguyên hàm:$I=int{frac{2x+1}{{{left( 3x+2 right)}^{2}}}dx}$
A. $I=frac{2}{3}ln left| 3x+2 right|-frac{5}{9}.frac{1}{3x+2}+C.$ B. $I=frac{2}{3}ln left| 3x+2 right|+frac{1}{3}.frac{1}{3x+2}+C$
C. $I=frac{2}{3}ln left| 3x+2 right|+frac{1}{9}.frac{1}{3x+2}+C$ D. $I=frac{2}{9}ln left| 3x+2 right|+frac{1}{9}.frac{1}{3x+2}+C$
Lời giải chi tiết
Ta có: $I=int{frac{2x+1}{{{left( 3x+2 right)}^{2}}}dx}=int{frac{frac{2}{3}left( 3x+2 right)-frac{1}{3}}{{{left( 3x+2 right)}^{2}}}dx}=frac{2}{3}int{frac{dx}{3x+2}}-frac{1}{3}int{frac{dx}{{{left( 3x+2 right)}^{2}}}}$
$=frac{2}{9}ln left| 3x+2 right|+frac{1}{9}.frac{1}{3x+2}+C.$ Chọn D.
Bài tập 15: Tính nguyên hàm:$I=int{frac{left( 2x+3 right)dx}{4{{x}^{2}}-4x+1}.}$
A. $I=frac{2}{1-2x}-ln left| 2x-1 right|+C.$ B. $I=frac{2}{2-4x}+2ln left| 2x-1 right|+C.$
C. $I=frac{2}{2x-1}+frac{1}{2}ln left| 2x-1 right|+C.$ D. $I=frac{2}{1-2x}+frac{1}{2}ln left| 2x-1 right|+C.$
Lời giải chi tiết
Ta có: $frac{left( 2x+3 right)dx}{4{{x}^{2}}-4x+1}=frac{2x+3}{{{left( 2x-1 right)}^{2}}}=frac{2x-1+4}{{{left( 2x-1 right)}^{2}}}=frac{1}{2x-1}+frac{4}{{{left( 2x-1 right)}^{2}}}$
Khi đó $I=int{frac{4dx}{{{left( 2x-1 right)}^{2}}}+int{frac{dx}{2x-1}}=frac{-2}{2x-1}+frac{1}{2}ln left| 2x-1 right|+C.}$ Chọn D.
Bài tập 16: Tính nguyên hàm: $I=int{frac{4x+3}{{{x}^{2}}+2x+2}dx}.$
A. $I=2ln left( {{x}^{2}}+2x+2 right)-arctan left( x+1 right)+C$ B. $I=2ln left( {{x}^{2}}+2x+2 right)+arctan left( x+1 right)+C$
C. $I=ln left( {{x}^{2}}+2x+2 right)-arctan left( x+1 right)+C$ D. $I=ln left( {{x}^{2}}+2x+2 right)+arctan left( x+1 right)+C$
Lời giải chi tiết
Ta có: $I=int{frac{4x+3}{{{x}^{2}}+2x+2}dx}=int{frac{2left( 2x+2 right)-1}{{{left( x+1 right)}^{2}}+1}dx}$
$=int{frac{2dleft( {{x}^{2}}+2x+2 right)}{{{x}^{2}}+2x+2}-int{frac{1}{{{left( x+1 right)}^{2}}+1}=2ln left| {{x}^{2}}+2x+2 right|-arctan left( x+1 right)+C}}$.
$=2ln left( {{x}^{2}}+2x+2 right)-arctan left( x+1 right)+C.$ Chọn A.
Bài tập 17: Tính nguyên hàm:$I=int{frac{dx}{{{x}^{3}}-x}}$
A. $I=ln left| {{x}^{2}}-1 right|-frac{1}{2}ln left| x right|+C$ B. $I=frac{1}{2}ln left| {{x}^{2}}-1 right|-2ln left| x right|+C$
C. $I=ln left| {{x}^{2}}-1 right|-ln left| x right|+C$ D. $I=frac{1}{2}ln left| {{x}^{2}}-1 right|-ln left| x right|+C$
Lời giải chi tiết
Ta có: $I=int{frac{dx}{{{x}^{3}}-x}}=int{frac{dx}{xleft( x+1 right)left( x-1 right)}}=int{frac{x+1-x}{xleft( x+1 right)left( x-1 right)}dx}$
$=int{frac{dx}{left( x-1 right)x}}-int{frac{dx}{left( x-1 right)left( x+1 right)}}=int{left( frac{1}{x-1}-frac{1}{x} right)dx}-frac{1}{2}int{left( frac{1}{x-1}-frac{1}{x+1} right)dx}$
$=ln left| frac{x-1}{x} right|-frac{1}{2}ln left| frac{x-1}{x+1} right|+C=frac{1}{2}ln left| {{x}^{2}}-1 right|-ln left| x right|+C.$ Chọn D.
Bài tập 18: Tính nguyên hàm:$I=int{frac{dx}{{{x}^{3}}-3x+2}}$
A. $I=frac{1}{3left( x-1 right)}-frac{1}{9}ln left| frac{x-1}{x+2} right|+C$ B. $I=-frac{1}{3left( x-1 right)}-frac{1}{9}ln left| frac{x-1}{x+2} right|+C$
C. $I=-frac{1}{3left( x-1 right)}-frac{1}{3}ln left| frac{x-1}{x+2} right|+C$ D. $I=frac{1}{3left( x-1 right)}-frac{1}{3}ln left| frac{x-1}{x+2} right|+C$
Lời giải chi tiết
Ta có: $I=int{frac{dx}{{{left( x-1 right)}^{2}}left( x+2 right)}=frac{1}{3}int{frac{left( x+2 right)-left( x-1 right)}{{{left( x-1 right)}^{2}}left( x+2 right)}dx}}$
$=frac{1}{3}int{frac{dx}{{{left( x-1 right)}^{2}}}}-frac{1}{3}int{frac{dx}{left( x-1 right)left( x+2 right)}}=frac{-1}{3left( x-1 right)}-frac{1}{9}int{left( frac{1}{x-1}-frac{1}{x+2} right)dx}$
$=-frac{1}{3left( x-1 right)}-frac{1}{9}ln left| frac{x-1}{x+2} right|+C.$ Chọn B.
Bài tập 19: Tính nguyên hàm:$I=int{frac{3{{x}^{2}}+2}{{{x}^{4}}-4}dx}$
A. $I=frac{1}{sqrt{2}}ln left| frac{x-sqrt{2}}{x+sqrt{2}} right|+arctan frac{x}{sqrt{2}}+C.$ B. $I=ln left| frac{x-sqrt{2}}{x+sqrt{2}} right|+arctan frac{x}{sqrt{2}}+C.$
C. $I=ln left| frac{x-sqrt{2}}{x+sqrt{2}} right|+frac{1}{sqrt{2}}arctan frac{x}{sqrt{2}}+C.$ D. $I=frac{1}{sqrt{2}}ln left| frac{x-sqrt{2}}{x+sqrt{2}} right|+frac{1}{sqrt{2}}arctan frac{x}{sqrt{2}}+C.$
Lời giải chi tiết
Ta có: $frac{3{{x}^{2}}+2}{{{x}^{4}}-4}=frac{Aleft( {{x}^{2}}+2 right)+Bleft( {{x}^{2}}-2 right)}{left( {{x}^{2}}-2 right)left( {{x}^{2}}+2 right)}=frac{left( A+B right){{x}^{2}}+2A-2B}{left( {{x}^{2}}-x right)left( {{x}^{2}}+2 right)}$
Đồng nhất 2 vế ta có: $left{ begin{array} {} A+B=3 \ {} 2A-2B=2 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} A=2 \ {} B=1 \ end{array} right.$
Khi đó $I=int{frac{2dx}{{{x}^{2}}-2}}+int{frac{dx}{{{x}^{2}}+2}}=frac{1}{sqrt{2}}ln left| frac{x-sqrt{2}}{x+sqrt{2}} right|+frac{1}{sqrt{2}}arctan frac{x}{sqrt{2}}+C.$ Chọn D..