.JPG)
Gọi H là chân đường cao kẻ từ I đến cạnh AB.
Khi đó ta có:
( {S_{IAB}} = frac{1}{2}IH.AB)
Ta có AB là đường kính (⇒S_{IABMax}⇔IH_{Max}⇔) H trùng với O.
Khi H trùng với O thì OI vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác ⇒ ΔIAB cân tại I.
Lại có ( frac{{MN}}{{AB}} = frac{R}{{2R}} = frac{1}{2} Rightarrow MN) là đường trung bình của tam giác ΔABC ⇒MN//BC.
Xét ΔMON có MO=ON=MN=R ⇒ ΔMON là tam giác đều.
Tam giác IAB cân tại I có MN là đường trung bình ⇒ M và N lần lượt là trung điểm của AM và AB.
Lại có O là trung điểm của AB ⇒ OM;ON cũng là hai đường trung bình của tam giác IAB.
⇒ (left{ begin{array}{l} ON//IM\ OM//IN end{array} right.)
⇒ tứ giác IMON là hình bình hành.
Lại có hai đường chéo OI và MN vuông góc với nhau (do ( MN//AB;OI bot AB))
⇒IMON là hình thoi (⇒MI=IN=OM=R⇒IA=2IM=2R.)
Xét tam giác AOI vuông tại O ta có:
( OI = sqrt {I{A^2} – O{A^2}} = sqrt {4{R^2} – {R^2}} = Rsqrt 3 )
( Rightarrow {S_{IAB}} = frac{1}{2}OI.AB = frac{1}{2}.Rsqrt 3 .2R = {R^2}sqrt 3 )