I. Tính đơn điệu của hàm số mũ
– Tính đơn điệu của các hàm số (y = {a^x})
+ Với (0 < a < 1) thì hàm số (y = {a^x}) nghịch biến.
+ Với (a > 1) thì hàm số (y = {a^x}) đồng biến.
II. Giải bất phương trình mũ
Phương pháp:
– Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức có nghĩa.
– Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi: đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, đưa về dạng tích, logarit hóa, dùng hàm số,…để giải bất phương trình.
– Bước 3: Kiểm tra điều kiện và kết luận tập nghiệm.
Khi giải bất phương trình mũ cần chú ý đến điều kiện của cơ số (a).
Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình ({3^x} ge {3^{2x – 1}}) là:
A. (left( { – infty ;1} right])
B. (left( { – infty ;1} right))
C. (left( {1; + infty } right))
D. (left[ {1; + infty } right))
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp giải bất phương trình mũ với cơ số (a > 1): ({a^{fleft( x right)}} ge {a^{gleft( x right)}} Leftrightarrow fleft( x right) ge gleft( x right)) .
Cách giải:
({3^x} ge {3^{2x – 1}} Leftrightarrow x ge 2x – 1 Leftrightarrow – x ge – 1 Leftrightarrow x le 1)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (left( { – infty ;1} right]).
Chọn A.
Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình: ({left( {dfrac{1}{4}} right)^x} + {left( {dfrac{1}{2}} right)^x} – 2 le 0) là:
A. (left( { – infty ;1} right])
B. (left( { – 1; + infty } right))
C. (left[ {0; + infty } right))
D. (left( { – infty ;0} right])
Phương pháp:
Đưa về cùng cơ số và biến đổi thành dạng tích rồi giải bất phương trình.
Cách giải:
(begin{array}{l}{left( {dfrac{1}{4}} right)^x} + {left( {dfrac{1}{2}} right)^x} – 2 le 0 Leftrightarrow {left( {dfrac{1}{2}} right)^{2x}} + {left( {dfrac{1}{2}} right)^x} – 2 le 0 Leftrightarrow left[ {{{left( {dfrac{1}{2}} right)}^x} – 1} right]left[ {{{left( {dfrac{1}{2}} right)}^x} + 2} right] le 0\ Leftrightarrow {left( {dfrac{1}{2}} right)^x} – 1 le 0 Leftrightarrow {left( {dfrac{1}{2}} right)^x} le 1 Leftrightarrow {left( {dfrac{1}{2}} right)^x} le {left( {dfrac{1}{2}} right)^0} Leftrightarrow x ge 0end{array})
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (left[ {0; + infty } right)).
Chọn C.
III. Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm
Phương pháp:
– Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức có nghĩa.
– Bước 2: Biến đổi bất phương trình đã cho, nêu điều kiện để bất phương trình có nghiệm hoặc biện luận theo (m) nghiệm của bất phương trình.
– Bước 3: Giải điều kiện ở trên để tìm và kết luận điều kiện tham số.
Ví dụ: Tìm (m) để bất phương trình (m{.4^x} – 2 < 0) nghiệm đúng với mọi (x).
A. (m in R)
B. (m = 0)
C. (m > 0)
D. (m le 0)
Phương pháp:
– Biến đổi bất phương trình đã cho về (m{.4^x} < 2).
– Biện luận bất phương trình theo (m) nghiệm của bất phương trình.
Cách giải:
Ta có: (m{.4^x} – 2 < 0 Leftrightarrow m{.4^x} < 2).
+ Nếu (m le 0) thì (m{.4^x} le 0 < 2) đúng với mọi (x).
+ Nếu (m > 0) thì (m{.4^x} < 2 Leftrightarrow {4^x} < dfrac{2}{m} Leftrightarrow x < {log _4}dfrac{2}{m}), do đó bất phương trình không nghiệm đúng với mọi (x).
Vậy (m le 0).
Chọn D.