Khối chóp tứ giác (S.ABCD)có đáy (ABCD) là hình thoi và (SABC) là tứ diện đều cạnh (a).

Gọi (H) là trọng tâm tam giác (ABC). Vì (S.ABC) là tứ diện đều cạnh (a) nên (SH bot left( {ABC} right)) hay (SH bot left( {ABCD} right))  và (SA = SB = SC = AB = AC = BC = a)

Gọi (O) là giao điểm hai đường chéo hình thoi (ABCD) thì (BH = dfrac{2}{3}BO).

Vì (ABC) đều có (BO) là trung tuyến nên (BO = dfrac{{asqrt 3 }}{2})

( Rightarrow BH = dfrac{2}{3}BO = dfrac{2}{3}.dfrac{{asqrt 3 }}{2} = dfrac{{asqrt 3 }}{3}) và  (BD = 2BO = 2.dfrac{{asqrt 3 }}{2} = asqrt 3 .)

Xét tam giác (SBH) vuông tại (H) ta có (SH = sqrt {S{B^2} – B{H^2}}  = sqrt {{a^2} – {{left( {dfrac{{asqrt 3 }}{3}} right)}^2}}  = dfrac{{sqrt 6 a}}{3})

Diện tích hình thoi (ABCD) là ({S_{ABCD}} = dfrac{1}{2}AC.BD = dfrac{1}{2}a.asqrt 3  = dfrac{{{a^2}sqrt 3 }}{2})

Thể tích khối chóp (S.ABCD) là ({V_{S.ABCD}} = dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = dfrac{1}{3}.dfrac{{asqrt 6 }}{3}.dfrac{{{a^2}sqrt 3 }}{2} = dfrac{{{a^3}sqrt 2 }}{6}.)

Chọn B.