Tổng hợp lý thuyết bài tập tìm nguyên hàm của hàm số bằng công thức nguyên hàm có đáp án chi tiết. toán lớp 12


Bài tập tìm nguyên hàm của hàm số bằng công thức nguyên hàm có đáp án.

Một số bài tập trắc nghiệm tính, tìm nguyên hàm có đáp sán chi tiết

Bài tập 1: Tìm nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)=3x+cos3x$

A. $3left( 1+sin 3x right)+C$. B. $frac{3{{x}^{2}}}{2}+frac{sin 3x}{3}+C$.              C. $frac{3{{x}^{2}}}{2}-frac{sin 3x}{3}+C$.              D. $3{{x}^{2}}+sin 3x+C$.

Lời giải chi tiết

Ta có: $int{left( 3x+cos3x right)}=frac{3{{x}^{2}}}{2}+frac{sin 3x}{3}+C$. Chọn B.

Bài tập 2: Tìm nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)={{2}^{x}}+{{e}^{x}}$

A. ${{2}^{x}}ln 2+{{e}^{x}}+C$. B. $frac{{{2}^{x}}}{ln 2}+{{e}^{x}}+C$. C. ${{2}^{x+1}}+{{e}^{x+1}}+C$.              D. $frac{{{2}^{x+1}}+{{e}^{x+1}}}{x+1}+C$.

Lời giải chi tiết

Ta có: $int{left( {{2}^{x}}+{{e}^{x}} right)}dx=int{{{2}^{x}}}dx+int{{{e}^{x}}}dx=frac{{{2}^{x}}}{ln 2}+{{e}^{x}}+C$. Chọn B.

Bài tập 3: Tìm nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)={{x}^{2}}.sqrt{x}+frac{1}{sqrt[3]{{{x}^{2}}}}$ trên khoảng $left( 0;+infty  right)$

A. $frac{2}{7}sqrt{{{x}^{7}}}+3sqrt[3]{x}+C$. B. $frac{7}{2}sqrt{{{x}^{7}}}+frac{1}{3}sqrt[3]{x}+C$.              C. $frac{2}{5}sqrt{{{x}^{5}}}+3sqrt[3]{x}+C$.              D. $frac{5}{2}sqrt{{{x}^{5}}}+frac{1}{3}sqrt[3]{x}+C$.

Lời giải chi tiết

Với $xin left( 0;+infty  right)$ ta có: $int{left( {{x}^{2}}.sqrt{x}+frac{1}{sqrt[3]{{{x}^{2}}}} right)}dx=int{{{x}^{2}}.sqrt{x}}dx+int{frac{dx}{sqrt[3]{{{x}^{2}}}}}$

$=int{{{x}^{2}}}.{{x}^{frac{1}{2}}}dx+int{{{x}^{frac{-2}{3}}}dx}=int{{{x}^{frac{5}{2}}}dx}+int{{{x}^{frac{-2}{3}}}dx}=frac{2}{7}sqrt{{{x}^{7}}}+3sqrt[3]{x}+C$. Chọn A.

Bài tập 4: [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Tìm nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)=frac{1}{5x-2}$

A. $frac{1}{5}ln left| 5x-2 right|+C$. B. $-frac{1}{2}ln left| 5x-2 right|+C$. C. $5ln left| 5x-2 right|+C$.              D. $ln left| 5x-2 right|+C$.

Lời giải chi tiết

Ta có $int{frac{1}{5x-2}dx=frac{1}{5}int{frac{dleft( 5x-2 right)}{5x-2}=}}frac{1}{5}ln left| 5x-2 right|+C$. Chọn A.

Bài tập 5: Tìm nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)={{x}^{2}}+sin left( 3x+1 right)$

A. $frac{{{x}^{3}}}{3}+frac{cosleft( 3x+1 right)}{3}+C$.                                                B. $frac{{{x}^{3}}}{3}-frac{cosleft( 3x+1 right)}{3}+C$.

C. $3{{x}^{2}}+3cosleft( 3x+1 right)+C$.    D. ${{x}^{3}}-3cosleft( 3x+1 right)+C$.

Lời giải chi tiết

Ta có: $int{left[ {{x}^{2}}+sin left( 3x+1 right) right]}dx=int{{{x}^{2}}}dx+int{sin left( 3x+1 right)}dx$

$=frac{{{x}^{3}}}{3}+frac{1}{3}int{sin left( 3x+1 right)dleft( 3x+1 right)}=frac{{{x}^{3}}}{3}-frac{cosleft( 3x+1 right)}{3}+C$. Chọn B.

Bài tập 6: Tìm nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)=frac{1}{sqrt{x}}+{{e}^{-2x}}$

A. $frac{sqrt{x}}{2}-frac{1}{2{{e}^{2x}}}+C$. B. $frac{sqrt{x}}{2}+frac{1}{2{{e}^{2x}}}+C$.              C. $2sqrt{x}+frac{1}{2{{e}^{2x}}}+C$.              D. $2sqrt{x}-frac{1}{2{{e}^{2x}}}+C$.

Lời giải chi tiết

Ta có: $int{fleft( x right)}=int{frac{dx}{sqrt{x}}}+int{{{e}^{-2x}}}dx=2int{frac{dx}{2sqrt{x}}}-frac{1}{2}int{{{e}^{-2x}}}dleft( -2x right)$

$=2sqrt{x}-frac{{{e}^{-2x}}}{2}+C=2sqrt{x}-frac{1}{2{{e}^{2x}}}+C$. Chọn D.

Bài tập 7: Tìm nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)={{left( 2x+1 right)}^{2019}}$

A. $frac{{{left( 2x+1 right)}^{2020}}}{2020}+C$. B. $frac{{{left( 2x+1 right)}^{2020}}}{4040}+C$.              C. $frac{{{left( 2x+1 right)}^{2020}}}{1010}+C$.              D. $4038{{left( 2x+1 right)}^{2018}}+C$.

Lời giải chi tiết

Ta có: $int{fleft( x right)}=int{{{left( 2x+1 right)}^{2019}}}dx=frac{1}{2}int{{{left( 2x+1 right)}^{2019}}}dleft( 2x+1 right)=frac{1}{2}.frac{{{left( 2x+1 right)}^{2020}}}{2020}+C=frac{{{left( 2x+1 right)}^{2020}}}{4040}+C$. Chọn B.

Bài tập 8: [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)={{x}^{3}}+x$ là:

A. ${{x}^{4}}+{{x}^{2}}+C$. B. $3{{x}^{2}}+1+C$. C. ${{x}^{3}}+x+C$.               D. $frac{1}{4}{{x}^{4}}+frac{1}{2}{{x}^{2}}+C$.

Lời giải chi tiết

Ta có: $int{fleft( x right)}dx=int{{{x}^{3}}dx+int{x}}dx=frac{1}{4}{{x}^{4}}+frac{1}{2}{{x}^{2}}+C$. Chọn D.

Bài tập 9: Cho $Fleft( x right)$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)=2cos3x-{{3}^{x-1}}$ thỏa mãn $Fleft( 0 right)=0$. Tìm $Fleft( x right)$

A. $Fleft( x right)=frac{2sin 3x}{3}-frac{{{3}^{x-1}}}{ln 3}+frac{1}{3ln 3}$. B. $Fleft( x right)=-frac{2sin 3x}{3}-frac{{{3}^{x-1}}}{ln 3}+frac{1}{3ln 3}$.

C. $Fleft( x right)=frac{2sin 3x}{3}-frac{{{3}^{x}}}{ln 3}+frac{1}{3ln 3}$. D. $Fleft( x right)=-frac{2sin 3x}{3}-frac{{{3}^{x}}}{ln 3}+frac{1}{3ln 3}$.

Lời giải chi tiết

Ta có: $Fleft( x right)=int{fleft( x right)dx}=int{2cos3xdx}-int{{{3}^{x-1}}}dx=frac{2sin 3x}{3}-frac{1}{3}int{{{3}^{x}}dx=}=frac{2sin 3x}{3}-frac{{{3}^{x}}}{3ln 3}+C$

Mặt khác $Fleft( 0 right)=0Rightarrow -frac{1}{3ln 3}+C=0Leftrightarrow C=frac{1}{3ln 3}$

Vậy $Fleft( x right)=frac{2sin 3x}{3}-frac{{{3}^{x}}}{3ln 3}+frac{1}{3ln 3}$. Chọn A.

 

Bài tập 10: [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Cho $Fleft( x right)$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)={{e}^{x}}+2x$ thỏa mãn $Fleft( 0 right)=frac{3}{2}$. Tìm $Fleft( x right)$.

A. $Fleft( x right)={{e}^{x}}+{{x}^{2}}+frac{3}{2}$. B. $Fleft( x right)=2{{e}^{x}}+{{x}^{2}}-frac{1}{2}$.              C. $Fleft( x right)={{e}^{x}}+{{x}^{2}}+frac{5}{2}$.              D. $Fleft( x right)={{e}^{x}}+{{x}^{2}}+frac{1}{2}$.

Lời giải chi tiết

Ta có $Fleft( x right)=int{left( {{e}^{x}}+2x right)dx={{e}^{x}}+{{x}^{2}}+C}$

Mà $Fleft( 0 right)=frac{3}{2}Rightarrow 1+C=frac{3}{2}Rightarrow C=frac{1}{2}Rightarrow Fleft( x right)={{e}^{x}}+{{x}^{2}}+frac{1}{2}$. Chọn D.

Bài tập 11: Cho hàm số $fleft( x right)$ xác định trên $mathbb{R}backslash left{ frac{1}{2} right}$ và thỏa mãn ${f}’left( x right)=frac{2}{2x-1},,,fleft( 0 right)=1$ và $fleft( 1 right)=2$. Giá trị của biểu thức $fleft( -1 right)+fleft( 3 right)$ bằng:

A. $4+ln 15$. B. $2+ln 15$. C. $3+ln 15$. D. $ln 15$.

Lời giải chi tiết

Ta có: $int{{f}’left( x right)dx=ln left| 2x-1 right|+C}$ $left( xne frac{1}{2} right)$ . Hàm số gián đoạn tại điểm $x=frac{1}{2}$

Nếu $x>frac{1}{2}Rightarrow fleft( x right)=ln left( 2x-1 right)+{{C}_{1}}$ mà $fleft( 1 right)=2Rightarrow {{C}_{1}}=2$

Vậy $fleft( x right)=ln left( 2x-1 right)+2$ khi $x>frac{1}{2}$

Tương tự $fleft( x right)=ln left( 2x-1 right)+{{C}_{2}}$ khi $x<frac{1}{2}$ mà $fleft( 0 right)=1Rightarrow {{C}_{2}}=1$

Do đó $fleft( -1 right)+fleft( 3 right)=ln 3+1+ln 5+2=ln15+3$. Chọn C.

 

Bài tập 12: Cho hàm số $fleft( x right)$ xác định trên $mathbb{R}backslash left{ -1 right}$ và thỏa mãn ${f}’left( x right)=frac{3}{x+1},,,fleft( 0 right)=1$ và $fleft( 1 right)+fleft( -2 right)=2$. Giá trị $fleft( -3 right)$ bằng:

A. $1+2ln 2$. B. $1-ln 2$. C. 1. D. $2+ln 2$.

Lời giải chi tiết

Ta có $int{{f}’left( x right)dx=3ln left| x+1 right|+C}$ $left( xne -1 right)$

Nếu $x>-1Rightarrow fleft( x right)=3ln left( x+1 right)+{{C}_{1}}$ mà $fleft( 0 right)=1Rightarrow {{C}_{1}}=1$

Vậy $fleft( x right)=3ln left( x+1 right)+1$ khi $x>-1$

Tương tự $fleft( x right)=3ln left( -x-1 right)+{{C}_{2}}$ khi $x<-1$

Do $fleft( 1 right)+fleft( -2 right)=2Rightarrow 3ln 2+1+{{C}_{2}}=2Rightarrow {{C}_{2}}=1-3ln 2$

Suy ra $fleft( -3 right)=3ln 2+1-3ln 2=1$. Chọn C.

Bài tập 13: Biết rằng $Fleft( x right)=left( a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d right){{e}^{x}}$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)=left( 2{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-2x+5 right){{e}^{x}}$. Tính ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}$

A. 244. B. 247. C. 245. D. 246.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${F}’left( x right)=left( 3a{{x}^{2}}+2bx+c right){{e}^{x}}+left( a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d right){{e}^{x}}$

$=left[ a{{x}^{3}}+left( 3a+b right){{x}^{2}}+left( 2b+c right)x+c+d right]{{e}^{x}}$

Do đó $left{ begin{array}  {} a=2 \  {} 3a+b=9 \  {} 2b+c=-2 \  {} c+d=5 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}  {} a=2 \  {} b=3 \  {} c=-8 \  {} d=13 \ end{array} right.Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}=246$. Chọn D.

 

 





Link Hoc va de thi 2021

Chuyển đến thanh công cụ