Bài tập tìm nguyên hàm của hàm số bằng công thức nguyên hàm có đáp án.
Một số bài tập trắc nghiệm tính, tìm nguyên hàm có đáp sán chi tiết
| Bài tập 1: Tìm nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)=3x+cos3x$
A. $3left( 1+sin 3x right)+C$. B. $frac{3{{x}^{2}}}{2}+frac{sin 3x}{3}+C$. C. $frac{3{{x}^{2}}}{2}-frac{sin 3x}{3}+C$. D. $3{{x}^{2}}+sin 3x+C$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $int{left( 3x+cos3x right)}=frac{3{{x}^{2}}}{2}+frac{sin 3x}{3}+C$. Chọn B.
| Bài tập 2: Tìm nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)={{2}^{x}}+{{e}^{x}}$
A. ${{2}^{x}}ln 2+{{e}^{x}}+C$. B. $frac{{{2}^{x}}}{ln 2}+{{e}^{x}}+C$. C. ${{2}^{x+1}}+{{e}^{x+1}}+C$. D. $frac{{{2}^{x+1}}+{{e}^{x+1}}}{x+1}+C$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $int{left( {{2}^{x}}+{{e}^{x}} right)}dx=int{{{2}^{x}}}dx+int{{{e}^{x}}}dx=frac{{{2}^{x}}}{ln 2}+{{e}^{x}}+C$. Chọn B.
| Bài tập 3: Tìm nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)={{x}^{2}}.sqrt{x}+frac{1}{sqrt[3]{{{x}^{2}}}}$ trên khoảng $left( 0;+infty right)$
A. $frac{2}{7}sqrt{{{x}^{7}}}+3sqrt[3]{x}+C$. B. $frac{7}{2}sqrt{{{x}^{7}}}+frac{1}{3}sqrt[3]{x}+C$. C. $frac{2}{5}sqrt{{{x}^{5}}}+3sqrt[3]{x}+C$. D. $frac{5}{2}sqrt{{{x}^{5}}}+frac{1}{3}sqrt[3]{x}+C$. |
Lời giải chi tiết
Với $xin left( 0;+infty right)$ ta có: $int{left( {{x}^{2}}.sqrt{x}+frac{1}{sqrt[3]{{{x}^{2}}}} right)}dx=int{{{x}^{2}}.sqrt{x}}dx+int{frac{dx}{sqrt[3]{{{x}^{2}}}}}$
$=int{{{x}^{2}}}.{{x}^{frac{1}{2}}}dx+int{{{x}^{frac{-2}{3}}}dx}=int{{{x}^{frac{5}{2}}}dx}+int{{{x}^{frac{-2}{3}}}dx}=frac{2}{7}sqrt{{{x}^{7}}}+3sqrt[3]{x}+C$. Chọn A.
| Bài tập 4: [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Tìm nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)=frac{1}{5x-2}$
A. $frac{1}{5}ln left| 5x-2 right|+C$. B. $-frac{1}{2}ln left| 5x-2 right|+C$. C. $5ln left| 5x-2 right|+C$. D. $ln left| 5x-2 right|+C$. |
Lời giải chi tiết
Ta có $int{frac{1}{5x-2}dx=frac{1}{5}int{frac{dleft( 5x-2 right)}{5x-2}=}}frac{1}{5}ln left| 5x-2 right|+C$. Chọn A.
| Bài tập 5: Tìm nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)={{x}^{2}}+sin left( 3x+1 right)$
A. $frac{{{x}^{3}}}{3}+frac{cosleft( 3x+1 right)}{3}+C$. B. $frac{{{x}^{3}}}{3}-frac{cosleft( 3x+1 right)}{3}+C$. C. $3{{x}^{2}}+3cosleft( 3x+1 right)+C$. D. ${{x}^{3}}-3cosleft( 3x+1 right)+C$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $int{left[ {{x}^{2}}+sin left( 3x+1 right) right]}dx=int{{{x}^{2}}}dx+int{sin left( 3x+1 right)}dx$
$=frac{{{x}^{3}}}{3}+frac{1}{3}int{sin left( 3x+1 right)dleft( 3x+1 right)}=frac{{{x}^{3}}}{3}-frac{cosleft( 3x+1 right)}{3}+C$. Chọn B.
| Bài tập 6: Tìm nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)=frac{1}{sqrt{x}}+{{e}^{-2x}}$
A. $frac{sqrt{x}}{2}-frac{1}{2{{e}^{2x}}}+C$. B. $frac{sqrt{x}}{2}+frac{1}{2{{e}^{2x}}}+C$. C. $2sqrt{x}+frac{1}{2{{e}^{2x}}}+C$. D. $2sqrt{x}-frac{1}{2{{e}^{2x}}}+C$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $int{fleft( x right)}=int{frac{dx}{sqrt{x}}}+int{{{e}^{-2x}}}dx=2int{frac{dx}{2sqrt{x}}}-frac{1}{2}int{{{e}^{-2x}}}dleft( -2x right)$
$=2sqrt{x}-frac{{{e}^{-2x}}}{2}+C=2sqrt{x}-frac{1}{2{{e}^{2x}}}+C$. Chọn D.
| Bài tập 7: Tìm nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)={{left( 2x+1 right)}^{2019}}$
A. $frac{{{left( 2x+1 right)}^{2020}}}{2020}+C$. B. $frac{{{left( 2x+1 right)}^{2020}}}{4040}+C$. C. $frac{{{left( 2x+1 right)}^{2020}}}{1010}+C$. D. $4038{{left( 2x+1 right)}^{2018}}+C$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $int{fleft( x right)}=int{{{left( 2x+1 right)}^{2019}}}dx=frac{1}{2}int{{{left( 2x+1 right)}^{2019}}}dleft( 2x+1 right)=frac{1}{2}.frac{{{left( 2x+1 right)}^{2020}}}{2020}+C=frac{{{left( 2x+1 right)}^{2020}}}{4040}+C$. Chọn B.
| Bài tập 8: [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)={{x}^{3}}+x$ là:
A. ${{x}^{4}}+{{x}^{2}}+C$. B. $3{{x}^{2}}+1+C$. C. ${{x}^{3}}+x+C$. D. $frac{1}{4}{{x}^{4}}+frac{1}{2}{{x}^{2}}+C$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $int{fleft( x right)}dx=int{{{x}^{3}}dx+int{x}}dx=frac{1}{4}{{x}^{4}}+frac{1}{2}{{x}^{2}}+C$. Chọn D.
| Bài tập 9: Cho $Fleft( x right)$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)=2cos3x-{{3}^{x-1}}$ thỏa mãn $Fleft( 0 right)=0$. Tìm $Fleft( x right)$
A. $Fleft( x right)=frac{2sin 3x}{3}-frac{{{3}^{x-1}}}{ln 3}+frac{1}{3ln 3}$. B. $Fleft( x right)=-frac{2sin 3x}{3}-frac{{{3}^{x-1}}}{ln 3}+frac{1}{3ln 3}$. C. $Fleft( x right)=frac{2sin 3x}{3}-frac{{{3}^{x}}}{ln 3}+frac{1}{3ln 3}$. D. $Fleft( x right)=-frac{2sin 3x}{3}-frac{{{3}^{x}}}{ln 3}+frac{1}{3ln 3}$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $Fleft( x right)=int{fleft( x right)dx}=int{2cos3xdx}-int{{{3}^{x-1}}}dx=frac{2sin 3x}{3}-frac{1}{3}int{{{3}^{x}}dx=}=frac{2sin 3x}{3}-frac{{{3}^{x}}}{3ln 3}+C$
Mặt khác $Fleft( 0 right)=0Rightarrow -frac{1}{3ln 3}+C=0Leftrightarrow C=frac{1}{3ln 3}$
Vậy $Fleft( x right)=frac{2sin 3x}{3}-frac{{{3}^{x}}}{3ln 3}+frac{1}{3ln 3}$. Chọn A.
| Bài tập 10: [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Cho $Fleft( x right)$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)={{e}^{x}}+2x$ thỏa mãn $Fleft( 0 right)=frac{3}{2}$. Tìm $Fleft( x right)$.
A. $Fleft( x right)={{e}^{x}}+{{x}^{2}}+frac{3}{2}$. B. $Fleft( x right)=2{{e}^{x}}+{{x}^{2}}-frac{1}{2}$. C. $Fleft( x right)={{e}^{x}}+{{x}^{2}}+frac{5}{2}$. D. $Fleft( x right)={{e}^{x}}+{{x}^{2}}+frac{1}{2}$. |
Lời giải chi tiết
Ta có $Fleft( x right)=int{left( {{e}^{x}}+2x right)dx={{e}^{x}}+{{x}^{2}}+C}$
Mà $Fleft( 0 right)=frac{3}{2}Rightarrow 1+C=frac{3}{2}Rightarrow C=frac{1}{2}Rightarrow Fleft( x right)={{e}^{x}}+{{x}^{2}}+frac{1}{2}$. Chọn D.
| Bài tập 11: Cho hàm số $fleft( x right)$ xác định trên $mathbb{R}backslash left{ frac{1}{2} right}$ và thỏa mãn ${f}’left( x right)=frac{2}{2x-1},,,fleft( 0 right)=1$ và $fleft( 1 right)=2$. Giá trị của biểu thức $fleft( -1 right)+fleft( 3 right)$ bằng:
A. $4+ln 15$. B. $2+ln 15$. C. $3+ln 15$. D. $ln 15$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $int{{f}’left( x right)dx=ln left| 2x-1 right|+C}$ $left( xne frac{1}{2} right)$ . Hàm số gián đoạn tại điểm $x=frac{1}{2}$
Nếu $x>frac{1}{2}Rightarrow fleft( x right)=ln left( 2x-1 right)+{{C}_{1}}$ mà $fleft( 1 right)=2Rightarrow {{C}_{1}}=2$
Vậy $fleft( x right)=ln left( 2x-1 right)+2$ khi $x>frac{1}{2}$
Tương tự $fleft( x right)=ln left( 2x-1 right)+{{C}_{2}}$ khi $x<frac{1}{2}$ mà $fleft( 0 right)=1Rightarrow {{C}_{2}}=1$
Do đó $fleft( -1 right)+fleft( 3 right)=ln 3+1+ln 5+2=ln15+3$. Chọn C.
| Bài tập 12: Cho hàm số $fleft( x right)$ xác định trên $mathbb{R}backslash left{ -1 right}$ và thỏa mãn ${f}’left( x right)=frac{3}{x+1},,,fleft( 0 right)=1$ và $fleft( 1 right)+fleft( -2 right)=2$. Giá trị $fleft( -3 right)$ bằng:
A. $1+2ln 2$. B. $1-ln 2$. C. 1. D. $2+ln 2$. |
Lời giải chi tiết
Ta có $int{{f}’left( x right)dx=3ln left| x+1 right|+C}$ $left( xne -1 right)$
Nếu $x>-1Rightarrow fleft( x right)=3ln left( x+1 right)+{{C}_{1}}$ mà $fleft( 0 right)=1Rightarrow {{C}_{1}}=1$
Vậy $fleft( x right)=3ln left( x+1 right)+1$ khi $x>-1$
Tương tự $fleft( x right)=3ln left( -x-1 right)+{{C}_{2}}$ khi $x<-1$
Do $fleft( 1 right)+fleft( -2 right)=2Rightarrow 3ln 2+1+{{C}_{2}}=2Rightarrow {{C}_{2}}=1-3ln 2$
Suy ra $fleft( -3 right)=3ln 2+1-3ln 2=1$. Chọn C.
| Bài tập 13: Biết rằng $Fleft( x right)=left( a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d right){{e}^{x}}$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)=left( 2{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-2x+5 right){{e}^{x}}$. Tính ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}$
A. 244. B. 247. C. 245. D. 246. |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${F}’left( x right)=left( 3a{{x}^{2}}+2bx+c right){{e}^{x}}+left( a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d right){{e}^{x}}$
$=left[ a{{x}^{3}}+left( 3a+b right){{x}^{2}}+left( 2b+c right)x+c+d right]{{e}^{x}}$
Do đó $left{ begin{array} {} a=2 \ {} 3a+b=9 \ {} 2b+c=-2 \ {} c+d=5 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} a=2 \ {} b=3 \ {} c=-8 \ {} d=13 \ end{array} right.Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}=246$. Chọn D.