Bài tập tính Tích phân từng phần với hàm ẩn có đáp án
Dưới đây là một số bài tập trắc nghiệm tính tích phân từng phần với hàm ẩn có Lời giải chi tiết
| Bài tập 1: Cho hàm số $fleft( x right)$ thỏa mãn điều kiện $intlimits_{0}^{1}{left( x+1 right)f’left( x right)dx=10}$ và $2fleft( 1 right)-fleft( 0 right)=2$. Tính tích phân $intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)dx}$
A. $I=-12$. B. $I=8$. C. $I=12$. D. $I=-8$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $left{ begin{array} {} u=x+1 \ {} dv={f}’left( x right)dx \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} du=dx \ {} v=fleft( x right) \ end{array} right.$ , khi đó $intlimits_{0}^{1}{left( x+1 right)f’left( x right)dx=left. left( x+1 right)fleft( x right) right|}_{0}^{1}-intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)dx}$
$Leftrightarrow 10=2fleft( 1 right)-fleft( 0 right)-ILeftrightarrow I=2fleft( 1 right)-fleft( 0 right)-10=2-10=-8$. Chọn D.
| Bài tập 2: Cho $intlimits_{0}^{2}{left( 1-2x right){f}’left( x right)dx=3fleft( 2 right)+fleft( 0 right)=2016}$. Tích phân $intlimits_{0}^{1}{fleft( 2x right)dx}$ bằng:
A. 4032. B. 1008. C. 0. D. 2016. |
Lời giải chi tiết
Xét tích phân $intlimits_{0}^{2}{left( 1-2x right){f}’left( x right)dx}$
Đặt $left{ begin{array} {} u=1-2x \ {} dv={f}’left( x right)dx \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} du=-2dx \ {} v=fleft( x right) \ end{array} right.Rightarrow I=left. left( 1-2x right)fleft( x right) right|_{0}^{2}+2intlimits_{0}^{2}{fleft( x right)dx}$
$=3fleft( 2 right)+fleft( 0 right)+2intlimits_{0}^{2}{fleft( x right)dx}Rightarrow 2016=-2016+2intlimits_{0}^{2}{fleft( x right)dx}Rightarrow intlimits_{0}^{2}{fleft( x right)dx}=2016$
Xét $J=intlimits_{0}^{1}{fleft( 2x right)dx}$, đặt $t=2xRightarrow dt=2dx$, đổi cận suy ra $J=intlimits_{0}^{2}{fleft( t right).frac{dt}{2}=frac{1}{2}}intlimits_{0}^{2}{fleft( x right)dx}=1008$. Chọn B.
| Bài tập 3: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ thỏa mãn điều kiện $intlimits_{0}^{1}{frac{{f}’left( x right)}{x+1}dx=1}$ và $fleft( 1 right)-2fleft( 0 right)=2$. Tính tích phân $intlimits_{0}^{1}{frac{fleft( x right)}{{{left( x+1 right)}^{2}}}dx}$
A. B. C. D. |
Lời giải chi tiết
Đặt $left{ begin{array} {} u=frac{1}{x+1} \ {} dv={f}’left( x right)dx \ end{array} right.Leftrightarrow left{ du=-frac{dx}{begin{array} {} {{left( x+1 right)}^{2}} \ {} v=fleft( x right) \ end{array}} right.$ , khi đó $intlimits_{0}^{1}{frac{{f}’left( x right)}{x+1}dx=left. frac{fleft( x right)}{x+1} right|}_{0}^{1}+intlimits_{0}^{1}{frac{fleft( x right)}{{{left( x+1 right)}^{2}}}dx}$
Suy ra $1=left. frac{fleft( x right)}{x+1} right|_{0}^{1}+IRightarrow I=1-left[ frac{fleft( 1 right)}{2}-fleft( 0 right) right]=1-frac{1}{2}left[ fleft( 1 right)-2fleft( 0 right) right]=1-frac{1}{2}.2=0$. Chọn A.
| Bài tập 4: Cho $Fleft( x right)={{x}^{2}}+{{ln }^{3}}x$ là một nguyên hàm của hàm số $frac{fleft( x right)}{x}$. Tính tích phân $intlimits_{1}^{e}{{f}’left( x right)}ln xdx$
A. $I={{e}^{2}}+3e$. B. $I={{e}^{2}}+3$. C. $I=-{{e}^{2}}+e$. D. $I={{e}^{2}}+4$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $left{ begin{array} {} u=ln x \ {} dv={f}’left( x right)dx \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} du=frac{1}{x}dx \ {} v=fleft( x right) \ end{array} right.Rightarrow I=left. ln x.fleft( x right) right|_{1}^{e}-intlimits_{1}^{e}{frac{fleft( x right)}{x}}dx$
$Rightarrow I=left. left[ ln xfleft( x right)-{{x}^{2}}-{{ln }^{3}}x right] right|_{1}^{e}=fleft( e right)-{{e}^{2}}-2+2=fleft( e right)-{{e}^{2}}$
Mặt khác $fleft( x right)=x{F}’left( x right)=xleft( 2x+frac{3{{ln }^{2}}x}{x} right)Rightarrow fleft( e right)=2{{e}^{2}}+3$
Do đó $I={{e}^{2}}+3$. Chọn B.
| Bài tập 5: Cho $F=left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}} right){{e}^{x}}$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right).{{e}^{3x}}$. Tính tích phân $I=intlimits_{0}^{1}{{f}’left( x right).{{e}^{3x}}}dx$
A. $I=e$. B. $I=e+1$. C. $I=-e+1$. D. $I=-e$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $left{ begin{array} {} u={{e}^{3x}} \ {} dv={f}’left( x right)dx \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} du=3{{e}^{3x}}dx \ {} v=fleft( x right) \ end{array} right.$
$Rightarrow I=left. {{e}^{3x}}fleft( x right) right|_{0}^{1}-3intlimits_{0}^{1}{{{e}^{3x}}fleft( x right)dx=left. left[ {{e}^{3x}}fleft( x right)-3left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}} right){{e}^{3x}} right] right|}_{0}^{1}$
Trong đó $fleft( x right)=frac{{F}’left( x right)}{{{e}^{3x}}}=frac{{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x}{{{e}^{2x}}}Rightarrow I=left. {{e}^{x}}left( -2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+2x right) right|_{0}^{1}=e$. Chọn A.
| Bài tập 6: Cho hàm số $fleft( x right)$ liên tục và luôn dương trên $mathbb{R}$. Biết rằng $fleft( 1 right)=2,,,intlimits_{0}^{1}{frac{xdx}{fleft( x right)}}=ln sqrt{2}$. Tính tích phân $I=intlimits_{0}^{1}{frac{{{x}^{2}}.{f}’left( x right)}{{{f}^{2}}left( x right)}}dx$
A. $I=2+ln 2$. B. $I=-frac{1}{2}+ln 2$. C. $I=-frac{1}{2}-ln 2$. D. $I=-2+ln 2$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $left{ begin{array} {} u={{x}^{2}} \ {} dv=frac{{f}’left( x right)}{{{f}^{2}}left( x right)}dx \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} du=2xdx \ {} v=-frac{1}{fleft( x right)} \ end{array} right.$
$Rightarrow I=left. frac{-{{x}^{2}}}{fleft( x right)} right|_{0}^{1}+2intlimits_{0}^{1}{frac{x}{fleft( x right)}=frac{-1}{fleft( 1 right)}+2ln sqrt{2}}=-frac{1}{2}+ln 2$. Chọn B.