Bài tập tính tích phân áp dụng công thức tích phân từng phần có đáp án
Dưới đây là một số bài tập trắc nghiệm tính tích phân từng phần có Lời giải chi tiết
| Bài tập 1: Cho tích phân $I=intlimits_{0}^{pi }{{{x}^{2}}}cos xdx$ và $u={{x}^{2}};,,dv=cos xdx$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $I=left. {{x}^{2}}sin x right|_{0}^{pi }-intlimits_{0}^{pi }{xsin xdx}$. B. $I=left. {{x}^{2}}sin x right|_{0}^{pi }+intlimits_{0}^{pi }{xsin xdx}$. C. $I=left. {{x}^{2}}sin x right|_{0}^{pi }+2intlimits_{0}^{pi }{xsin xdx}$. D. $I=left. {{x}^{2}}sin x right|_{0}^{pi }-2intlimits_{0}^{pi }{xsin xdx}$. |
Lời giải chi tiết
Ta có $left{ begin{array} {} u={{x}^{2}} \ {} dv=cos xdx \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} du=2xdx \ {} v=sin x \ end{array} right.Rightarrow I=left. {{x}^{2}}sin x right|_{0}^{pi }-2intlimits_{0}^{pi }{xsin xdx}$ . Chọn D.
| Bài tập 2: Cho tích phân $intlimits_{0}^{2}{left( 2x+1 right){{e}^{x}}}dx=a{{e}^{2}}+be+c$ $left( a,b,cin mathbb{Q} right)$. Tính $S={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$
A. $S=13$. B. $S=10$. C. $S=5$. D. $S=8$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $left{ begin{array} {} u=2x+1 \ {} du={{e}^{x}}dx \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} du=2dx \ {} v={{e}^{x}} \ end{array} right.Rightarrow intlimits_{0}^{2}{left( 2x+1 right){{e}^{x}}}dx=left. left( 2x+1 right){{e}^{x}} right|_{0}^{2}-intlimits_{0}^{2}{{{e}^{x}}}dx=left. left( 2x-1 right){{e}^{x}} right|_{0}^{2}=3{{e}^{2}}+1$
Suy ra $a=3;b=0;c=1Rightarrow S={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=10$. Chọn B.
| Bài tập 3: Cho tích phân $I=intlimits_{0}^{frac{pi }{2}}{left( {{x}^{2}}+1 right)sin xdx=a{{pi }^{2}}}+bpi +c$ với $a,b,cin mathbb{Q}$. Tính $T={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$
A. $T=9$. B. $T=12$. C. $T=2$. D. $T=10$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $left{ begin{array} {} u={{x}^{2}}+1 \ {} dv=sin xdx \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} du=2xdx \ {} v=-cos x \ end{array} right.$
Khi đó $I=-left( {{x}^{2}}+1 right)left. cos x right|_{0}^{frac{pi }{2}}+2intlimits_{0}^{frac{pi }{2}}{xcos xdx-1+2intlimits_{0}^{frac{pi }{2}}{xcos xdx}}$
Xét tích phân $J=intlimits_{0}^{frac{pi }{2}}{xcos xdx}$, ta đặt $left{ begin{array} {} u=x \ {} dv=cos xdx \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} du=dx \ {} v=sin x \ end{array} right.$
Khi đó $J=left. xsin x right|_{0}^{frac{pi }{2}}-intlimits_{0}^{frac{pi }{2}}{sin x}dx=left. frac{pi }{2}+cos x right|_{0}^{frac{pi }{2}}=frac{pi }{2}-1$
Vậy $I=pi -1Rightarrow left{ begin{array} {} a=0 \ {} b=1 \ {} c=-1 \ end{array} right.Rightarrow T=2$. Chọn C.
| Bài tập 4: Cho tích phân $I=intlimits_{2}^{3}{left( 3{{x}^{2}}+1 right)ln xdx=aln 3+bln 2+c}$ với $a,b,cin mathbb{Q}$. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A. $a=3b$. B. $a=-3b$. C. $a+b=40$. D. $a-b=20$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $left{ begin{array} {} u=ln x \ {} dv=left( 3{{x}^{2}}+1 right)dx \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} du=frac{dx}{x} \ {} v={{x}^{3}}+x \ end{array} right.Rightarrow I=left. left( {{x}^{3}}+x right)ln x right|_{2}^{3}-intlimits_{2}^{3}{left( {{x}^{2}}+1 right)}$
$=30ln 3-10ln 2-left. left( frac{{{x}^{3}}}{3}+x right) right|_{2}^{3}=30ln 3-10ln 2-frac{22}{3}Rightarrow a=30;b=-10;c=-3b$. Chọn B.
| Bài tập 5: Cho $I=intlimits_{1}^{4}{frac{ln left( sqrt{x}+1 right)}{sqrt{x}}}dx=a.ln 3+b.ln 2+c$ , với $a,b,cin mathbb{Q}$, tổng $a+b+c$ bằng
A. 8. B. 4. C. 12. D. 0. |
Lời giải chi tiết
Đặt $left{ begin{array} {} u=ln left( sqrt{x}+1 right) \ {} v=frac{dx}{sqrt{x}} \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} du=frac{dx}{2sqrt{x}left( sqrt{x}+1 right)} \ {} v=2left( sqrt{x}+1 right) \ end{array} right.$, khi đó $I=left. 2left( sqrt{x}+1 right)ln left( sqrt{x}+1 right) right|_{1}^{4}-intlimits_{1}^{4}{frac{dx}{sqrt{x}}}$
$=left. 2left( sqrt{x}+1 right)ln left( sqrt{x}+1 right) right|_{1}^{4}-left. 2sqrt{x} right|_{1}^{4}=6.ln 3-4.ln 2-2=a.ln 3+b.ln 2+cRightarrow left{ begin{array} {} a=6 \ {} b=-4 \ {} c=-2 \ end{array} right.$
Vậy tổng $a+b+c=6-4-2=0$. Chọn D.
| Bài tập 6: Cho tích phân $I=intlimits_{0}^{frac{pi }{2}}{frac{xsin x}{{{left( 1+cos x right)}^{2}}}}dx=frac{a}{b}pi -c$ với $a,b,cin mathbb{N}$ và $frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $a+b=3c$. B. $a+2b=c$. C. $a+b=2c$. D. $a+2b=3c$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $left{ begin{array} {} u=x \ {} dv=frac{xsin x}{{{left( 1+cos x right)}^{2}}}dx \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} du=dx \ {} v=frac{1}{1+cos x} \ end{array} right.Rightarrow I=left. frac{x}{1+cos x} right|_{0}^{frac{pi }{2}}-intlimits_{0}^{frac{pi }{2}}{frac{dx}{1+cos x}}$
$=frac{1}{2}pi -intlimits_{0}^{frac{pi }{2}}{frac{dx}{2{{cos }^{2}}frac{x}{2}}}=frac{1}{2}pi -left. tan frac{x}{2} right|_{0}^{frac{pi }{2}}=frac{1}{2}pi -1Rightarrow a=1;b=2;c=1$
Do đó $a+b=3c$. Chọn A.