Câu hỏi:
Trong không gian (Oxyz) cho (Aleft( {0;1;2} right),,,Bleft( {0;1;0} right),,,Cleft( {3;1;1} right)) và mặt phẳng (left( Q right):,,x + y + z – 5 = 0). Xét điểm (M) thay đổi thuộc (left( Q right)). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức (M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}) bằng:
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: B
Gọi (Ileft( {a;b;c} right)) là điểm thỏa mãn (overrightarrow {IA} + overrightarrow {IB} + overrightarrow {IC} = overrightarrow 0 ) ta có:
(left{ begin{array}{l}overrightarrow {IA} = left( { – a;1 – b;2 – c} right)\overrightarrow {IB} = left( { – a;1 – b; – c} right)\overrightarrow {IC} = left( {3 – a;1 – b;1 – c} right)end{array} right. Rightarrow overrightarrow {IA} + overrightarrow {IB} + overrightarrow {IC} = overrightarrow 0 Leftrightarrow left{ begin{array}{l} – 3a + 3 = 0\ – 3b + 3 = 0\ – 3c + 3 = 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a = 1\b = 1\c = 1end{array} right. Rightarrow Ileft( {1;1;1} right))
Ta có
(begin{array}{l}M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {left( {overrightarrow {MI} + overrightarrow {IA} } right)^2} + {left( {overrightarrow {MI} + overrightarrow {IB} } right)^2} + {left( {overrightarrow {MI} + overrightarrow {IC} } right)^2}\ = 3M{I^2} + 2overrightarrow {MI} underbrace {left( {overrightarrow {IA} + overrightarrow {IB} + overrightarrow {IC} } right)}_{overrightarrow 0 } + underbrace {I{A^2} + I{B^2} + I{C^2}}_{{mathop{rm co}nolimits} nst}end{array})
Do đó (M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}) nhỏ nhất ( Leftrightarrow M{I_{min }} Leftrightarrow MI bot left( Q right) Rightarrow MI = dleft( {I;left( Q right)} right) = dfrac{{left| {1 + 1 + 1 – 5} right|}}{{sqrt 3 }} = dfrac{2}{{sqrt 3 }})
Ta có (I{A^2} = {1^2} + {1^2} = 2,,,I{B^2} = {1^2} + {1^2} = 2,,,I{C^2} = {2^2} = 4)
( Rightarrow {left( {M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}} right)_{min }} = 3.dfrac{4}{3} + 2 + 2 + 4 = 12).
Chọn B.
ADSENSE