(Sở Thanh Hóa 2022) Cho hàm số (f(x)) liên tục trên (mathbb{R}) và có đổ thị như hình vẽ:
Xét (T = 103fleft( {{a^2} + a + 1} right) + 234f(af(b) + bf(a)),(a,b in mathbb{R})). Biết (T) có giá trị lónn nhát bằng (M) đạt tại (m) cặp ((a;b)), khi đó (frac{M}{m}) bằng
A. (frac{{1011}}{4}).
B. (frac{{1011}}{8}).
C. (frac{{337}}{2}).
D. (frac{{674}}{3}).
Lời giải:
Quan sát đồ thị đã cho ta có ({max _mathbb{R}}f(x) = f(3) = 6).
()
( Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}begin{array}{l}max fleft( {{a^2} + a + 1} right) = 6\max f(af(b) + bf(a)) = 6end{array}end{array} Rightarrow {T_{max }} = (103 + 234) times 6 = 2022} right.{rm{. }})()
Dấu bằng đạt tại (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\{{a^2} + a + 1 = 3}\{af(b) + bf(a) = 3}end{array} Leftrightarrow left[ {left{ {begin{array}{*{20}{c}}{left{ {begin{array}{*{20}{c}}{f(b) = 3 – bf(1) = 3 Rightarrow {bf{4}}{{bf{n}}_0}}\{a = – 2}end{array}} right.}\{f(b) = frac{{3 – bf( – 2)}}{{ – 2}} = – frac{3}{2} Rightarrow 4{{bf{n}}_0}}end{array},,(f(1) = f( – 2) = 0)} right.} right.} right.) tức có 8 cặp ((a;b)).
Vậy (frac{M}{m} = frac{{2022}}{8} = frac{{1011}}{4}).