Điều kiện: (left{ begin{array}{l}x ne frac{pi }{2} + kpi \x ne frac{pi }{4} + kfrac{pi }{2}end{array} right.,k in mathbb{Z}.)
Ta có: (frac{{sin x}}{{cos x}} + frac{{sin 2x}}{{cos 2x}} = frac{{sin xcos 2x + cos xsin 2x}}{{{mathop{rm cosx}nolimits} .cos2x}} = frac{{sin 3x}}{{cos 2x.cos x}})
Suy ra:(tan x + tan 2x = sin 3x.cos x Leftrightarrow frac{{sin 3x}}{{cos 2x.cos x}} = sin 3x.cos x)
(begin{array}{l} Leftrightarrow sin 3x = sin 3x.cos 2x.co{s^2}x\ Leftrightarrow sin 3x(cos 2x.{cos ^2}x – 1) = 0\ Leftrightarrow (2{cos ^4}x – {cos ^2}x – 1)sin 3x = 0\ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}sin 3x = 0,(1)\2{cos ^4}x – {cos ^2}x – 1, = 0(2)end{array} right.end{array})
Giải (1): (sin 3x = 0 Leftrightarrow x = frac{{kpi }}{3},k in mathbb{Z},(*))
Giải (2): Đặt (t = {cos ^2}x,0 le t le 1,) Bất phương trình trở thành:
(2{t^4} – {t^2} – 1 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = 1\t = – frac{1}{2},(loai)end{array} right.)
Với (t = 1 Rightarrow {cos ^2}x = 1 Leftrightarrow x = kpi ,k in mathbb{Z},(**))
Từ ((*);(**) Rightarrow x = frac{{kpi }}{3},k in mathbb{Z})