Bài tập 1. Cho tam giác $A B C$ có $A B=3, A C=4, widehat{B A C}=120^{circ}$. Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):
a. Độ dài cạnh $B C$ và độ lớn góc $B$
b. Bán kính đường tròn ngoại tiếp
c. Diện tích của tam giác
d. Độ dài đường cao xuất phát từ $A$
e. $overrightarrow{A B} cdot overrightarrow{A C}, overrightarrow{A M} cdot overrightarrow{B C}$ với $M$ là trung điểm của $B C$
Hướng dẫn giải:
a.
- Áp dụng định lý cosin:
$BC^2=AB^2+AC^2-2AB.AC.cosA=37$
$Rightarrow BC=sqrt{37}$
- Áp dụng định lý sin:
$frac{BC}{sin A}=frac{AC}{sin B}$ $Rightarrow widehat{B}=34,7^{circ}$
b. $frac{BC}{sin A}=2R Rightarrow R=frac{sqrt{37}}{sqrt{3}}$
c. $S=frac{1}{2}.AB.AC.sinA=3sqrt{3}$
d. $S=frac{1}{2}.AH.BC Rightarrow AH = frac{6sqrt{3}}{sqrt{37}}$ (H là chân đường cao)
e. $overrightarrow{A B} cdot overrightarrow{A C}=3 cdot 4 cdot cos120=-6$
Bài tập 2. Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
$A=left(sin 20^{circ}+sin 70^{circ}right)^{2}+left(cos 20^{circ}+cos 110^{circ}right)^{2}$,
$B=tan 20^{circ}+cot 20^{circ}+tan 110^{circ}+cot 110^{circ} .$
Hướng dẫn giải:
$A=(sin 20^{circ}+sin 70^{circ})^{2}+(cos 20^{circ}+cos 110^{circ})^{2}$
$=(cos 70^{circ}+cos 20^{circ})^{2}+(cos 20^{circ}+cos 110^{circ})^{2}$
$=(-cos 110^{circ}+cos 20^{circ})^{2}+(cos 20^{circ}+cos 110^{circ})^{2}$
$=2((cos 20^{circ})^{2}+(cos 110^{circ})^{2})$
$=2((sin 70^{circ})^{2}+(-cos 70^{circ})^{2})$
$=2$
$B=tan 20^{circ}+cot 20^{circ}+tan 110^{circ}+cot 110^{circ}$
$=cot 70^{circ}+tan 70^{circ}-tan 70^{circ}-cot 70^{circ}$
$=0$