Bài 1 trang 14
Đề bài
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là mệnh đề, khẳng định nào là mệnh đề chứa biến
a) (3 + 2 > 5)
b) (1 – 2x = 0)
c) (x – y = 2)
d) (1 – sqrt 2 < 0)
Phương pháp giải
Mệnh đề là một khẳng định đúng hoặc sai.
Mệnh đề chứa biến là một mệnh đề khi thay biến bằng một giá trị cụ thể.
Lời giải chi tiết
Các khẳng định là mệnh đề là:
a) (3 + 2 > 5)
d) (1 – sqrt 2 < 0)
Các khẳng định là mệnh đề chứa biến là:
b) (1 – 2x = 0)
c) (x – y = 2)
=========
Bài 2 trang 14
Đề bài
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phủ định của chúng.
a) 2020 chia hết cho 3
b) (pi < 3,15)
c) Nước ta hiện nay có 5 thành phố trực thuộc trung ương.
d) Tam giác có hai góc bằng ({45^o}) là tam giác vuông cân.
Phương pháp giải
Để phủ định mệnh đề, ta thêm (hoặc bớt) từ “không” hoặc “không phải” vào trước vị ngữ của mệnh đề đó. Hoặc diễn đạt bằng từ ngữ, kí hiệu toán học đối lập.
Lời giải chi tiết
a) Mệnh đề “2020 chia hết cho 3” sai.
Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là: “2020 không chia hết cho 3”
b) Mệnh đề “(pi < 3,15)” đúng vì (pi approx 3,141592654)
Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là: “(pi ge 3,15)”
c) Mệnh đề “Nước ta hiện nay có 5 thành phố trực thuộc trung ương” đúng (gồm Hà Nội, Đà Nẵng, Hải Phòng, Hồ Chí Minh và Cần Thơ)
Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là: “Nước ta hiện nay không phải có 5 thành phố trực thuộc trung ương”
d) Mệnh đề “Tam giác có hai góc bằng ({45^o}) là tam giác vuông cân” đúng.
Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là: “Tam giác có hai góc bằng ({45^o}) không phải là tam giác vuông cân”
========
Bài 3 trang 14
Đề bài
Xét hai mệnh đề:
P: “Tứ giác ABCD là hình bình hành”.
Q: “Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường”.
a) Phát biểu mệnh đề (P Rightarrow Q) và xét tính đúng sai của nó.
b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề (P Rightarrow Q).
Phương pháp giải
a) Mệnh đề (P Rightarrow Q) phát biểu là “Nếu P thì Q” hoặc “P kéo theo Q”, “Từ P suy ra Q”.
b) Mệnh đề đảo của mệnh đề (P Rightarrow Q) là mệnh đề (Q Rightarrow P).
Lời giải chi tiết
a) Mệnh đề (P Rightarrow Q): “Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì nó có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường”.
Mệnh đề này đúng vì “hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường” là tính chất của hình hình hành.
b) Mệnh đề đảo của mệnh đề (P Rightarrow Q) là mệnh đề (Q Rightarrow P), được phát biểu là: “Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì nó là hình bình hành”.
==============
Bài 4 trang 15
Đề bài
Cho các định lí:
P: “Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau”.
Q: “Nếu (a < b) thì (a + c < b + c)” ((a,b,c in mathbb{R})).
a) Chỉ ra giả thiết và kết luận của mỗi định lí.
b) Phát biểu lại mỗi định lí đã cho, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” hoặc “điều kiện đủ”.
c) Mệnh đề đảo của mỗi định lí đó có là định lí không?
Phương pháp giải
+) Khi mệnh đề (R Rightarrow T) là định lí, ta nói:
R là giả thiết, T là kết luận
R là điều kiện đủ để có T
T là điều kiện cần để có R
+) Mệnh đề đảo của mệnh đề (R Rightarrow T) là mệnh đề (T Rightarrow R).
Lời giải chi tiết
a) Mệnh đề P có dạng (R Rightarrow T)với R: “Hai tam giác bằng nhau” và T: “Diện tích của hai tam giác bằng nhau”
Giả thiết là mệnh đề R: “Hai tam giác bằng nhau”
Kết luận là mệnh đề T: “Diện tích của hai tam giác bằng nhau”
Mệnh đề Q có dạng (A Rightarrow B)với A: “(a < b)” và B: “(a + c < b + c)”
Giả thiết là mệnh đề A: “(a < b)”
Kết luận là mệnh đề B: “(a + c < b + c)”
b) +) Mệnh đề P có thể phát biểu lại như sau:
Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để có diện tích của chúng bằng nhau.
Diện tích của hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần để hai tam giác bằng nhau.
+) Mệnh đề Q có thể phát biểu lại như sau:
(a < b) là điều kiện đủ để có (a + c < b + c).
(a + c < b + c)là điều kiện cần để có (a < b).
c) Mệnh đề đảo của mệnh đề P có dạng (T Rightarrow R), phát biểu là: “Nếu hai tam giác có diện tích bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau”.
Mệnh đề này sai nên không là định lí.
Chẳng hạn: Tam giác ABC và tam giác DEF, có diện tích bằng nhau nhưng hai tam giác không bằng nhau.
Mệnh đề đảo của mệnh đề Q có dạng (B Rightarrow A), phát biểu là: “Nếu (a + c < b + c)thì (a < b)”.
Mệnh đề này đúng nên nó cũng là định lí.
============
Bài 5 trang 15
Đề bài
Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ”, phát biểu lại các định lí sau:
a) Một phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức của nó dương.
b) Một hình bình hành là hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc với nhau và ngược lại.
Lời giải chi tiết
Các định lí trên có thể được phát biểu là:
a) Một phương trình bậc hai có biệt thức dương là điều kiện cần và đủ để có hai nghiệm phân biệt
b) Một hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là điều kiện cần và đủ để nó là hình thoi.
=====
Bài 6 trang 15
Đề bài
Cho các mệnh đề sau:
P: “Giá trị tuyệt đối của mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng chính nó”
Q: “Có số tự nhiên sao cho bình phương của nó bằng 10”
R: “Có số thực x sao cho ({x^2} + 2x – 1 = 0)”
a) Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề trên.
b) Sử dụng kí hiệu (forall ,exists ) để viết lại các mệnh đề đã cho.
Lời giải chi tiết
a) Mệnh đề P đúng, vì: (left| x right| = left{ begin{array}{l}xquad ;;(x ge 0)\ – xquad (x < 0)end{array} right.) nên (left| x right| ge x).
Mệnh đề Q sai vì chỉ có các số ( pm sqrt {10} ) có bình phương bằng 10, nhưng (sqrt {10} ) và ( – sqrt {10} ) đều không là số tự nhiên.
Mệnh đề R đúng vì (x = – 1 + sqrt 2 in mathbb{R}) thỏa mãn ({x^2} + 2x – 1 = 0.)
b) Có thể viết lại các mệnh đề trên như sau:
P: “(forall x in mathbb{R},;left| x right| ge x)”
Q: “(exists n in mathbb{N},{n^2} = 10)”
R: “(exists x in mathbb{R},;{x^2} + 2x – 1 = 0)”
=============
Bài 7 trang 15
Đề bài
Xét tính đúng sai và viết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau đây:
a) (exists x in mathbb{N},x + 3 = 0)
b) (forall x in mathbb{R},{x^2} + 1 ge 2x)
c) (forall a in mathbb{R},sqrt {{a^2}} = a)
Phương pháp giải
Phủ định của mệnh đề “(forall x in X,P(x))” là “(exists x in X,overline {P(x)} )”
Phủ định của mệnh đề “(exists x in X,P(x))” là “(forall x in X,overline {P(x)} )”
Lời giải chi tiết
a) Mệnh đề sai, vì chỉ có (x = – 3) thảo mãn (x + 3 = 0)nhưng ( – 3 notin mathbb{N}).
Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là: “(forall x in mathbb{N},x + 3 ne 0)”.
b) Mệnh đề đúng, vì ({(x – 1)^2} ge 0) hay({x^2} + 1 ge 2x) với mọi số thực x.
Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là: “(exists x in mathbb{R},{x^2} + 1 < 2x)”
c) Mệnh đề sai, vì có (a = – 2 in mathbb{R},sqrt {{{( – 2)}^2}} = 2 ne a)
Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là: “(exists a in mathbb{R},sqrt {{a^2}} ne a)”.