1. Giải bài 1 trang 36 SGK Đại số & Giải tích 11
Giải phương trình: (small sin^2x – sinx = 0)
Phương pháp giải
Đặt nhân tử chung, đưa phương trình về dạng tích và giải các phương trình lượng giác cơ bản:
(sin x = sin alpha Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = alpha + k2pi \
x = pi – alpha + k2pi
end{array} right.,,,left( {k in Z} right))
Hướng dẫn giải
(begin{array}{l},,,,,,,{sin ^2}x – sin x = 0\Leftrightarrow sin xleft( {sin x – 1} right) = 0\ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}sin x = 0\sin x – 1 = 0end{array} right.\Leftrightarrow left[ begin{array}{l}sin x = 0\sin x = 1end{array} right.\Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = kpi \x = frac{pi }{2} + k2pi end{array} right.,,,left( {k in Z} right)end{array})
Vậy nghiệm của phương trình là (x = kpi ) hoặc (x = frac{pi }{2} + k2pi ,,,left( {k in Z} right))
2. Giải bài 2 trang 36 SGK Đại số & Giải tích 11
Giải các phương trình sau
a) (small 2cos^2x – 3cosx + 1 = 0)
b) (small 2sin2x + sqrt{2}sin4x = 0)
Phương pháp giải
a) Đặt (t=cosx), đưa về phương trình bậc hai ẩn t, giải phương trình bậc hai ẩn t sau đó giải các phương trình lượng giác cơ bản của cos.
b) Sử dụng công thức nhân đôi (sin 4x = 2sin 2xcos 2x)
Đặt nhân tử chung, đưa phương trình về dạng tích.
Giải các phương trình lượng giác cơ bản của sin và cos.
Hướng dẫn giải
Câu a: Đặt ( t = cosx, t in [-1 ; 1]) ta được phương trình:
(begin{array}{l}2{t^2} – 3t + 1 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = 1,,,left( {tm} right)\t = frac{1}{2},,,left( {tm} right)end{array} right.\+ ),,t = 1 Leftrightarrow cos x = 1 Leftrightarrow x = k2pi ,,,left( {k in Z} right)\+ ),,t = frac{1}{2} Leftrightarrow cos x = frac{1}{2} Leftrightarrow x = pm frac{pi }{3} + k2pi ,,,left( {k in Z} right)end{array})
Vậy (x = {rm{ }}k2pi ) hoặc (x{rm{ }} = pm {pi over 3} + {rm{ }}k2pi ) ((kinmathbb{Z})).
Câu b: Ta có
(begin{array}{l},,,2sin 2x + sqrt 2 sin 4x = 0\Leftrightarrow 2sin 2x + 2sqrt 2 sin 2xcos 2x = 0\Leftrightarrow 2sin 2xleft( {1 + sqrt 2 cos 2x} right) = 0\Leftrightarrow left[ begin{array}{l}sin 2x = 0\1 + sqrt 2 cos 2x = 0end{array} right.\Leftrightarrow left[ begin{array}{l}sin 2x = 0\cos 2x = – frac{1}{{sqrt 2 }}end{array} right.\Leftrightarrow left[ begin{array}{l}2x = kpi \2x = pm frac{{3pi }}{4} + k2pi end{array} right.\Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = frac{{kpi }}{2}\x = pm frac{{3pi }}{8} + kpi end{array} right.,,,,left( {k in Z} right)end{array})
Vậy nghiệm của phương trình là (x = frac{{kpi }}{2}) hoặc (x = pm frac{{3pi }}{8} + kpi ,,,left( {k in Z} right)).
3. Giải bài 3 trang 37 SGK Đại số & Giải tích 11
Giải các phương trình sau
a) (sin^2(frac{x}{2}) – 2cos(frac{x}{2}) + 2 = 0)
b) (small 8cos^2x + 2sinx – 7 = 0)
c) (small 2tan^2x + 3tanx + 1 = 0)
d) (small tanx -2cotx + 1 = 0)
Phương pháp giải
- Sử dụng công thức lượng giác cơ bản đã học
- Đặt ẩn phụ (t = cos frac{x}{2},,,left( {t in left[ { – 1;1} right]} right)), đưa về phương trình bậc hai ẩn t, giải phương trình suy ra các nghiệm t.
- Giải các phương trình lượng giác cơ bản của cos: (cos x = cos alpha Leftrightarrow x = pm alpha + k2pi ,,left( {k in Z} right))
Hướng dẫn giải
Câu a: Ta có
(begin{array}{l}
,,{sin ^2}frac{x}{2} – 2cos frac{x}{2} + 2 = 0\
Leftrightarrow 1 – {cos ^2}frac{x}{2} – 2cos frac{x}{2} + 2 = 0\
Leftrightarrow {cos ^2}frac{x}{2} + 2cos frac{x}{2} – 3 = 0
end{array})
Đặt (t = {rm{ }}cos{x over 2},{rm{ }}t in left[ { – 1{rm{ }};{rm{ }}1} right]) thì phương trình trở thành
(begin{array}{l}{t^2} + 2t – 3 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = 1,,,,,,,left( {tm} right)\t = – 3,,,left( {ktm} right)end{array} right.\Khi,,t = 1 Leftrightarrow cos frac{x}{2} = 1 Leftrightarrow frac{x}{2} = k2pi\ Leftrightarrow x = k4pi ,,,left( {k in Z} right)end{array})
Vậy nghiệm của phương trình là: (x = k4pi ,,,left( {k in Z} right)).
Câu b: Ta có
(begin{array}{l},,8{cos ^2}x + 2sin x – 7 = 0\Leftrightarrow 8left( {1 – {{sin }^2}x} right) + 2sin x – 7 = 0\Leftrightarrow 8{sin ^2}x – 2sin x – 1 = 0end{array})
Đặt (t = sinx, t ∈ [-1 ; 1]) thì phương trình trở thành
(begin{array}{l}8{t^2} – 2t – 1 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = frac{1}{2}\t = – frac{1}{4}end{array} right.,,,left( {tm} right)\+ ),,t = frac{1}{2} Leftrightarrow sin x = frac{1}{2} \ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = frac{pi }{6} + k2pi \x = frac{{5pi }}{6} + k2pi end{array} right.,,,left( {k in Z} right)\+ ),,t = – frac{1}{4} Leftrightarrow sin x = – frac{1}{4} \ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = arcsin left( { – frac{1}{4}} right) + k2pi \x = pi – arcsin left( { – frac{1}{4}} right) + k2pi end{array} right.,,,left( {k in Z} right)end{array})
Câu c: ĐK: (cos x ne 0 Leftrightarrow x ne frac{pi }{2} + kpi ,,left( {k in Z} right))
Đặt (t = tanx) thì phương trình trở thành
(2{t^{2}} + {rm{ }}3t{rm{ }} + {rm{ }}1{rm{ }} = {rm{ }}0 Leftrightarrow left[ matrix{
t = – 1 hfill cr
t = – {1 over 2} hfill cr} right.)
(Leftrightarrow left[ matrix{
tan x = – 1 hfill cr
tan x = – {1 over 2} hfill cr} right.)
( Leftrightarrow left[ matrix{
x = – {pi over 4} + kpi hfill cr
x = arctan left( { – {1 over 2}} right) + kpi hfill cr} right.(k in mathbb{Z}) ™)
Câu d: ĐK: (left{ begin{array}{l}sin x ne 0\cos x ne 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x ne kpi \x ne frac{pi }{2} + kpi end{array} right. Leftrightarrow x ne frac{{kpi }}{2},,left( {k in Z} right))
(begin{array}{l},,,,tan x – 2cot x + 1 = 0\Leftrightarrow tan x – frac{2}{{tan x}} + 1 = 0\Leftrightarrow {tan ^2}x + tan x – 2 = 0end{array})
Đặt (t = tanx) thì phương trình trở thành
(begin{array}{l}{t^2} + t – 2 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = 1\t = – 2end{array} right.\Leftrightarrow left[ begin{array}{l}tan x = 1\tan x = – 2end{array} right. \ Leftrightarrowleft[ begin{array}{l}x = frac{pi }{4} + kpi \x = arctan left( { – 2} right) + kpi end{array} right.,,left( {k in Z} right) ™end{array})
4. Giải bài 4 trang 37 SGK Đại số & Giải tích 11
Giải các phương trình sau:
a) (small 2sin^ 2x + sinxcosx – 3cos^2x = 0)
b) (small 3sin^2x – 4sinxcosx + 5cos^2x = 2)
c) (small 3sin^2x – sin2x + 2cos^2x = frac{1}{2})
d) (small 2cos^2x -3sqrt{3}sin2x -4sin^2x = -4)
Phương pháp giải
Xét phương trình: (asin {}^2x + bsin xcos x + ccos {}^2x = d )
Xét (cos x = 0 Leftrightarrow x = frac{pi }{2} + kpi ,k in mathbb{Z}) có là nghiệm của (1) hay không
Xét (cos x ne 0), chia hai vế của (1) cho ({cos ^2}x) ta được:
(a{tan ^2}x + btan x + c = d(1 + {tan ^2}x))
( Leftrightarrow left( {a – d} right){tan ^2}x + btan x + c – d = 0) (left( {1′} right))
Đặt (t = tan x)
Phương trình (left( {1′} right)) trở thành: ((a – d){t^2} + bt + c – d = 0{rm{ (2)}})
Giải phương trình (2) theo t từ đó suy ra x theo (t = tan x).
Hướng dẫn giải
Câu a: Ta nhận thấy cosx = 0 không là nghiệm của phương trình. Chia hai vế cho cos2x ta được:
(Rightarrow 2tan^2x+tanx-3=0)
(Leftrightarrow Bigg lbrack begin{matrix} tan x = 1\ \ tan x = -frac{3}{2} end{matrix})
Vậy phương trình có nghiệm (Bigg lbrackbegin{matrix} x= frac{pi }{4}+k pi \ \ x= arctanleft (-frac{3}{2} right )+k pi end{matrix} , kin mathbb{Z})
Câu b: Ta nhận thấy cosx = 0 không là nghiệm của phương trình:
(3sin^2x+4sinxcosx+5cos^2x=2), nên chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: (3tan^2x-4tanx+5=2(1+tan^2x))
(Leftrightarrow tan^2x-4tanx+3=0)
Đặt t = tanx
Ta có phương trình (t^2-4t+3=0 Leftrightarrow bigg lbrack begin{matrix} t=1\ t=3 end{matrix})
(t=1Rightarrow tanx=1Rightarrow tanx=tanfrac{pi }{4}Rightarrow x=frac{pi }{4}+k pi, kin mathbb{Z}).
(t=3Rightarrow tanx=3Rightarrow x= arctan(3)+k pi, (kin mathbb{Z}))
Vậy phương trình có nghiệm là: (Bigg lbrackbegin{matrix} x=frac{pi }{4}+k pi \ \ x= arctan(3)+k pi end{matrix} , (kin mathbb{Z}))
Câu c: (sin^2x+sin2x-2cos^2x=frac{1}{2}Leftrightarrow sin^2x+2sinxcosx-2cos^2x=frac{1}{2}) (3)
(cosx=0Leftrightarrow x=frac{pi }{2}+k pi, kin mathbb{Z}) không là nghiệm của (3)
(cosxneq 0), chia hai vế của (3) cho (cos^2x), ta được:
(frac{sin^2x}{cos^2x}+frac{2sinx}{cosx}-2=frac{1}{2cos^2x}Rightarrow tan^2x+2tanx-2=frac{1}{2}(1+tan^2x))
(Rightarrow 2tan^2x+4tanx-4=1+tan^2x)
(Rightarrow tan^2x +4tanx-5=0)
Đặt t = tanx, ta có phương trình
(t^2+4t-5=0Leftrightarrow bigg lbrackbegin{matrix} t=1\ t=-5 end{matrix})
(t=1Rightarrow tanx=1Rightarrow x=frac{pi }{4}+k pi, kin mathbb{Z})
(t=-5 Rightarrow tanx=-5Rightarrow x=arctan(-5)+kpi, kin mathbb{Z})
Vậy phương trình có nghiệm (bigg lbrackbegin{matrix} x=frac{pi }{4}+k pi \ \ x=arctan(-5)+kpi end{matrix}, kin mathbb{Z})
Câu d: (2cos^2x – 3sqrt{3}sin2x – 4sin^2x = -4)
(Leftrightarrow 2cos^2x – 6sqrt{3}sinxcosx -4(1-cos^2x)+4= 0)
(Leftrightarrow 2cos^2x – 6sqrt{3}sinxcosx – 4+4cos^2x+4= 0)
(Leftrightarrow 6cos^2x-6sqrt{3}sinxcosx=2)
(Leftrightarrow 6cosx(cosx – sqrt{3}sinx) = 0)
(Bigg lbrackbegin{matrix} cosx=0\ \ cosx-sqrt{3}sinx=0 end{matrix}Leftrightarrow Bigg lbrackbegin{matrix} x=frac{pi }{2}+kpi,kin mathbb{Z}\ \ cosx=sqrt{3}sinx end{matrix})
(Leftrightarrow bigg lbrackbegin{matrix} x=frac{pi }{2}+kpi, kin mathbb{Z}\ \ tanx=frac{1}{sqrt{3}} end{matrix}Leftrightarrow Bigg lbrackbegin{matrix} x=frac{pi }{2}+kpi\ \ x=frac{pi }{6}+kpi end{matrix}, kin mathbb{Z})
Vậy phương trình có nghiệm là (Bigg lbrackbegin{matrix} x=frac{pi }{2}+kpi\ \ x=frac{pi }{6}+kpi end{matrix}, kin mathbb{Z})
5. Giải bài 5 trang 37 SGK Đại số & Giải tích 11
Giải các phương trình sau
a) (small cosx – sqrt{3}sinx = sqrt{2})
b) (small 3sin3x – 4cos3x = 5)
c) (small 2sin2x + 2cos2x -sqrt{2} = 0)
d) (small 5cos2x + 12sin2x – 13 = 0)
Phương pháp giải
Xét phương trình: (asin x + bcos x = c{rm{ (1)}})
Điều kiện có nghiệm: ({a^2} + {b^2} ge {c^2})
Chia hai vế của (1) cho (sqrt {{a^2} + {b^2}} ), ta được:
(left( 1 right) Leftrightarrow frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}sin x + frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}cos x = frac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }})
Vì ({left( {frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} right)^2} + {left( {frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} right)^2} = 1) nên ta đặt (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{sin varphi = frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\{cos varphi = frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}end{array}} right.)
Phương trình trở thành
(sin xsin varphi + cos xcos varphi = frac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} Leftrightarrow cos left( {x – varphi } right) = frac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }})
Đặt (cos alpha = frac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}) ta được phương trình lượng giác cơ bản.
Hoàn toàn tương tự ta cũng có thể đặt (left{ begin{array}{l}cos varphi = frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin varphi = frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}end{array} right.)
Khi đó phương trình trở thành: ({mathop{rm sinxcos}nolimits} varphi + cosxsinvarphi = frac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} Leftrightarrow sin left( {x + varphi } right) = frac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }})
Hướng dẫn giải
Câu a: (cos x – sqrt 3 sin x = sqrt 2 )
(begin{array}{l} Leftrightarrow frac{1}{2}cos x – frac{{sqrt 3 }}{2}{mathop{rm sinx}nolimits} = frac{1}{{sqrt 2 }}\ Leftrightarrow sin frac{pi }{6}.cos x – cos frac{pi }{6}.sin x = frac{1}{{sqrt 2 }}\ Leftrightarrow sin left( {frac{pi }{6} – x} right) = frac{1}{{sqrt 2 }} Leftrightarrow sin left( {frac{pi }{6} – x} right) = sin frac{pi }{4}\ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}frac{pi }{6} – x = frac{pi }{4} + k2pi \frac{pi }{6} – x = frac{{3pi }}{4} + k2pi end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = – frac{pi }{{12}} + k2pi \x = – frac{{7pi }}{{12}} + k2pi end{array} right.,k in mathbb{Z}.end{array})
Câu b: (3sin 3x – 4cos 3x = 5 Leftrightarrow frac{3}{5}sin 3x – frac{4}{5}cos 3x = 1.)
Đặt (cos alpha = frac{3}{5},,sin alpha = frac{4}{5},) suy ra:
(sin (3x – alpha ) = 1 Leftrightarrow 3x – alpha = frac{pi }{2} + k2pi Leftrightarrow x = frac{pi }{6} + frac{alpha }{3} + kfrac{{2pi }}{3},k in mathbb{Z}.)
Câu c
(begin{array}{l}2sin x + 2{mathop{rm cosx}nolimits} – sqrt 2 = 0\ Leftrightarrow sin x + cos x = frac{1}{{sqrt 2 }}\ Leftrightarrow sqrt 2 sin left( {x + frac{pi }{4}} right) = frac{1}{{sqrt 2 }}\ Leftrightarrow sin left( {x + frac{pi }{4}} right) = frac{1}{2}\ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x + frac{pi }{4} = frac{pi }{6} + k2pi \x + frac{pi }{4} = frac{{5pi }}{6} + k2pi end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = – frac{pi }{{12}} + k2pi \x = frac{{7pi }}{{12}} + k2pi end{array} right.,k in mathbb{Z}.end{array})
Câu d
(begin{array}{l}5cos 2x + 12sin 2x – 13 = 0\ Leftrightarrow 12sin 2x + 5cos 2x = 13\ Leftrightarrow frac{{12}}{{13}}sin 2x + frac{5}{{13}}cos 2x = 1end{array})
( Leftrightarrow sin (2x + alpha ) = 1) (left( {sin alpha = frac{5}{{13}};,cos alpha = frac{{12}}{{13}}} right))
(begin{array}{l} Leftrightarrow 2x + alpha = frac{pi }{2} + k2pi \ Leftrightarrow x = frac{pi }{4} – frac{alpha }{2} + kpi ,k in mathbb{Z}.end{array})
6. Giải bài 6 trang 37 SGK Đại số & Giải tích 11
Giải phương trình
a) (small tan(2x + 1) tan(3x – 1) = 1)
b) (small tanx + tan(x + frac{pi }{4}) = 1)
Phương pháp giải
Câu a: Sử dụng công thức (tan x = frac{{sin x}}{{cos x}}) và (cos (a + b) = cos a.cos b – sin a.sin b) để biến đổi phương trình.
Câu b: Sử dụng công thức (tan x = frac{{sin x}}{{cos x}}); (sin (a + b) = sin a.cos b + {mathop{rm cosa}nolimits} .sin b) và (cos a.cos b = frac{1}{2}left[ {cos (a + b) + cos (a – b)} right]) để biến đổi phương trình
Hướng dẫn giải
Câu a: Với điều kiện
(left{begin{matrix} 2x+1neq frac{pi }{2}+k pi\ \ 3x-1neq frac{pi }{2}+k pi end{matrix}right. , kin mathbb{Z}) hay (left{begin{matrix} xneq frac{pi }{4}-frac{1}{2}+frac{k pi}{2}\ \ xneq frac{pi }{6}+frac{1}{2}+frac{k pi}{3} end{matrix}right. , kin mathbb{Z})
(Leftrightarrow tan(2x + 1) tan(3x – 1) = 1)
(1) (Leftrightarrow frac{sin(2x+1)sin(3x-1)}{cos(2x+1)cos(2x-1)}=1)
( Rightarrow cos(2x+1) cos(3x-1)-sin(2x+1) sin(3x-1) =0)
(Leftrightarrow cos(2x+1+3x-1)Leftrightarrow cos5x=0)
(Leftrightarrow 5x=frac{pi }{2}+kpi,kin mathbb{Z})
(Leftrightarrow x=frac{pi }{10}+frac{k pi}{5},kin mathbb{Z}) (thoả điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm (x=frac{pi }{10}+frac{k pi}{5},kin mathbb{Z}.)
Câu b: Điều kiện (left{begin{matrix} cosxneq 0\ cos(x+frac{pi }{4})neq 0 end{matrix}right.)
Khi đó (tanx+tanleft ( x+frac{pi }{4} right )=1)
(Leftrightarrow sinx.cosleft ( x+frac{pi }{4} right )+cosx.sinleft ( x+frac{pi }{4} right )= cosx.cosleft ( x+frac{pi }{4} right ))
(Leftrightarrow sinleft ( 2x+frac{pi }{4} right )=frac{1}{2} left [ cosleft ( 2x+frac{pi }{4} right ) +cos left ( – frac{pi }{4}right )right ])
(Leftrightarrow 2sinleft ( 2x+frac{pi }{4} right )-cosleft (2 x+frac{pi }{4} right )= frac{sqrt{2}}{2})
(Leftrightarrow frac{2}{sqrt{5}}sinleft ( 2x+frac{pi }{4} right ) -frac{1}{sqrt{5}}cos left (2x+frac{pi }{4} right )=frac{sqrt{2}}{10})
(Leftrightarrow sinleft (2x+frac{pi }{4} -alpha right )=frac{sqrt{2}}{10})
(Leftrightarrow Bigg lbrack begin{matrix} 2x+frac{pi }{4}-alpha = arcsin frac{sqrt{2}}{10} + k2 pi\ \ 2x+frac{pi }{4}-alpha = pi – arcsin frac{sqrt{2}}{10} + k2 pi end{matrix})
(Leftrightarrow Bigg lbrack begin{matrix} x= frac{alpha }{2}-frac{pi }{8}+ frac{1}{2}arcsin frac{sqrt{2}}{10} + kpi\ \ x = frac{alpha }{2}+frac{3pi }{8}- frac{1}{2} arcsin frac{sqrt{2}}{10} + kpi end{matrix}, knotin mathbb{Z})