Câu hỏi:
Cho hình chóp tứ giác đềucó tất các các cạnhbằng. Khoảng cách từ điểm
A. (frac{a sqrt{6}}{3})
B. (frac{a sqrt{6}}{6})
C. (frac{a sqrt{2}}{2})
D. (frac{a sqrt{3}}{2})
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Cách 1
Gọi(O)là tâm củahình vuông(ABCD).
Dohình chóp (S.ABCD)là hình chóp tứ giác đều nên(SO bot (ABCD)).
Ta có (frac{{dleft( {A,left( {SBC} right)} right)}}{{dleft( {O,left( {SBC} right)} right)}} = frac{{CA}}{{CO}} = 2). Suy ra(dleft( {A,left( {SBC} right)} right) = 2dleft( {O,left( {SBC} right)} right)).
Gọi(E)là trung điểm của cạnh(BC)( Rightarrow OE bot BC).
Kẻ(OH bot SE,(H in SE),(1)).
(Delta ABD = Delta SBD).
Từ((1))và((2))suy ra(OH bot (SBC) Rightarrow OH = dleft( {O,left( {SBC} right)} right)).
(SO = sqrt {S{A^2} – O{A^2}}= sqrt {{a^2} – {{left( {frac{{asqrt 2 }}{2}} right)}^2}}= frac{{asqrt 2 }}{2}).
(frac{1}{{O{H^2}}} = frac{1}{{S{O^2}}} + frac{1}{{O{E^2}}} = frac{1}{{{{left( {frac{{asqrt 2 }}{2}} right)}^2}}} + frac{1}{{{{left( {frac{a}{2}} right)}^2}}} = frac{6}{{{a^2}}})( Rightarrow OH = frac{{asqrt 6 }}{6}).
Vậy(dleft( {A,left( {SBC} right)} right) = 2OH = frac{{asqrt 6 }}{3}).
Cách 2
Gọi(O)là tâm của hình vuông(ABCD).
Do(S.ABCD)là hình chóp tứ giác đều nên(SO bot left( {ABCD} right)).
Ta có (dleft( {A,(SBC)} right) = frac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{Delta SBC}}}}).
( Rightarrow Delta SAC).
({V_{S.ABC}} = frac{1}{3}.SO.{S_{Delta ABC}} = frac{1}{3}.SO.frac{1}{2}.BA. BC = frac{1}{6}.frac{{asqrt 2 }}{2}.{a^2} = frac{{{a^3}sqrt 2 }}{{12}}).
Mặt khác, tam giác(SBC)là tam giác đều cạnhanên({S_{Delta SBC}} = frac{{{a^2}sqrt 3 }}{4}).
Vậy(dleft( {A,left( {SBC} right)} right) = frac{{3 cdot frac{{{a^3}sqrt 2 }}{{12}}}}{{frac{{{a^2}sqrt 3 }}{4}}} = frac{{asqrt 6 }}{3}).
Cách 3
Chọn hệ trục tọa độ(Oxyz)với(O equiv A)như hình vẽ.
Có(Aleft( {0;0;0} right),Bleft( {0;a;0} right),Dleft( {a;0;0} right),Cleft( {a;a;0} right)),(Sleft( {frac{a}{2};frac{a}{2};frac{{asqrt 2 }}{2}} right)), với(AB = a,SH = frac{{asqrt 2 }}{2}).
(overrightarrow {SB}= left( { – frac{a}{2};frac{a}{2}; – frac{{asqrt 2 }}{2}} right)) ( Rightarrow overrightarrow {SB} ) cùng phương với (overrightarrow u= left( {1; – 1;sqrt 2 } right)).
(overrightarrow {SC}= left( {frac{a}{2};frac{a}{2}; – frac{{asqrt 2 }}{2}} right)) ( Rightarrow overrightarrow {SC} )cùng phương với (overrightarrow v= left( {1;1; – sqrt 2 } right)).
Ta có ([overrightarrow u,overrightarrow v ] = left( {0;2sqrt 2;2} right)).
Mặt phẳng(left( {SBC} right))đi qua điểm(Bleft( {0;a;0} right))và nhận vectơ(left( {0;sqrt 2;1} right))làm một vectơ pháp tuyến. Suy ra phương trình (left( {SBC} right)) là: (0left( {x – 0} right) + sqrt 2 left( {y – a} right) + 1left( {z – 0} right) = 0 Leftrightarrow sqrt 2 y + z – sqrt 2 a = 0).
(dleft( {A,left( {SBC} right)} right) = frac{{| – sqrt 2 a|}}{{sqrt {{{(sqrt 2 )}^2} + {1^2}} }} = frac{{asqrt 6 }}{3}).
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Khoảng cách và góc trong không gian