Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác đó.

Câu hỏi:

Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác đó.

Trả lời:

Đặt độ dài a = AB, b = BC, c = CD, d = ADGọi O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD.* Trong $∆$OAB, ta có:OA + OB > a (bất đẳng thức tam giác) (1)* Trong $∆$OCD, ta có:OC + OD > c (bất đẳng thức tam giác) (2)Từ (1) và (2) suy ra:OA + OB + OC + OD > a + c hay AC + BD > a + c (*)* Trong $∆$ΔOAD, ta có: OA + OD > d (bất đẳng thức tam giác) (3)* Trong $∆$OBC, ta có: OB + OC > b (bất đẳng thức tam giác) (4)Từ (3) và (4) suy ra:OA + OB + OC + OD > b + d hay AC + BD > b + d (**)Từ (*) và (**) suy ra: 2(AC + BD) > a + b + c + d* Trong $∆$ABC, ta có: AC < AB + BC = a + b (bất đẳng thức tam giác)* Trong $∆$ADC, ta có: AC < AD + DC = c + d (bất đẳng thức tam giác)Suy ra: 2AC < a + b + c + d* Trong $∆$ABD, ta có: BD < AB + AD = a + d (bất đẳng thức tam giác)* Trong $∆$BCD, ta có: BD < BC + CD = b + c (bất đẳng thức tam giác)Suy ra: 2BD < a + b + c + dTừ (5) và (6) suy ra: AC + BD < a + b + c + d

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Tứ giác ABCD có ∠B = ∠A + 10°, ∠C = ∠B + 10° , ∠D = ∠C + 10°. Khẳng định nào dưới đây là đúng?A. ∠A = 65°B. ∠B = 85°C. ∠C = 100°D. ∠D = 90°

   Câu hỏi:
   

   Tứ giác ABCD có $\angle$B = $\angle$A + $10°$, $\angle$C = $\angle$B + $10°$ , $\angle$D = $\angle$C + $10°$. Khẳng định nào dưới đây là đúng?A. $\angle$A = $65°$B. $\angle$B = $85°$C. $\angle$C = $100°$D. $\angle$D = $90°$

   Trả lời:

   Chọn BMà $\angle$B = $\angle$A + $10°$ (2)nên từ (1) và (2) =>$\angle$C – $10°$ = $\angle$A + $10°$ => $\angle$C = $\angle$A + $20°$Ta có: $\angle$D = $\angle$C + $10°$ => $\angle$D = $\angle$A + $20°$ + $10°$ =>$\angle$D = $\angle$A + $30°$Ta có : $\angle$A+$\angle$B+$\angle$C+$\angle$D = $360°$ ( tổng bốn góc của tứ giác)=> $\angle$A+ $\angle$A + $10°$ +$\angle$A + $20°$ + $\angle$A + $30°$ = $360°$=> 4$\angle$A + $60°$ = $360°$Do đó: $\angle$A=$75°$=>$\angle$B = $\angle$A + $75°$ + $10°$ =$85°$=>$\angle$C=$\angle$A+$20°$=$95°$=>$\angle$D=$\angle$A+$30°=105°$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

2. Tứ giác ABCD có ∠C = 60°, ∠D = 80°, ∠A – ∠B = 10°. Tính số đo các góc A và B.

   Câu hỏi:
   

   Tứ giác ABCD có $\angle$C = $60°$, $\angle$D = $80°$, $\angle$A – $\angle$B = $10°$. Tính số đo các góc A và B.

   Trả lời:

   Tổng bốn góc của 1 tứ giác bằng $360°$ nên: ∠A + $\angle$B + $\angle$C +$\angle$D =$360°$Suy ra: $\angle$A + $\angle$B = $360°$ – ($\angle$C +$\angle$D) hay$\angle$A + $\angle$B = $360°–\left(60°+80°\right)=220°$ Mà $\angle$A – $\angle$B = $10°$Vậy $\angle$A =  = $115°$, $\angle$B = $115°$ – $10°$ = $105°$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

3. Tứ giác ABCD có chu vi 66cm. Tính độ dài AC, biết chu vi tam giác ABC bằng 56cm, chu vi tam giác ACD bằng 60cm

   Câu hỏi:
   

   Tứ giác ABCD có chu vi 66cm. Tính độ dài AC, biết chu vi tam giác ABC bằng 56cm, chu vi tam giác ACD bằng 60cm

   Trả lời:

   +) Chu vi tứ giác ABCD là: AB + BC + CD + DA = 66 cm (1)+) Chu vi tam giác ABC là: AB + BC + CA = 56 cm (2)+) Chu vi tam giác ACD là: AC + CD + AD = 60 cm (3)Lấy (2) +(3) –(1) vế vế ta được:(AB +BC + CA) +(AC+CD + AD) – (AB + BC + CD + DA) = 56 + 60 – 66Hay 2AC = 50 nên AC = 25 cm

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====