Chứng minh rằng các góc của một tứ giác không thể đều là góc nhọn, không thể đều là góc tù.

Câu hỏi:

Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác đó.

Trả lời:

Đặt độ dài a = AB, b = BC, c = CD, d = ADGọi O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD.* Trong $∆$OAB, ta có:OA + OB > a (bất đẳng thức tam giác) (1)* Trong $∆$OCD, ta có:OC + OD > c (bất đẳng thức tam giác) (2)Từ (1) và (2) suy ra:OA + OB + OC + OD > a + c hay AC + BD > a + c (*)* Trong $∆$ΔOAD, ta có: OA + OD > d (bất đẳng thức tam giác) (3)* Trong $∆$OBC, ta có: OB + OC > b (bất đẳng thức tam giác) (4)Từ (3) và (4) suy ra:OA + OB + OC + OD > b + d hay AC + BD > b + d (**)Từ (*) và (**) suy ra: 2(AC + BD) > a + b + c + d* Trong $∆$ABC, ta có: AC < AB + BC = a + b (bất đẳng thức tam giác)* Trong $∆$ADC, ta có: AC < AD + DC = c + d (bất đẳng thức tam giác)Suy ra: 2AC < a + b + c + d* Trong $∆$ABD, ta có: BD < AB + AD = a + d (bất đẳng thức tam giác)* Trong $∆$BCD, ta có: BD < BC + CD = b + c (bất đẳng thức tam giác)Suy ra: 2BD < a + b + c + dTừ (5) và (6) suy ra: AC + BD < a + b + c + d

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====