1.1. Khái niệm Lôgarit
Định nghĩa
|
Cho hai số thực dương a, b với a khác 1. Số thực c để ac = b được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là \({{\log }_{a}}b\), nghĩa là \(c={{\log }_{a}}b\Leftrightarrow {{a}^{c}}=b\) |
Tính chất
|
Với số thực dương a khác 1, số thực dương b, ta có: 1) \({{\log }_{a}}1=0\) 2) \({{\log }_{a}}a\,=1\) 3) \({{\log }_{a}}{{a}^{c}}=c\) 4) \({{a}^{{{\log }_{a}}b}}=b\) |
Lôgarit thập phân. Lôgarit tự nhiên
|
– Lôgarit cơ số 10 của số thực dương b được gọi là lôgarit thập phân của b và kí hiệu là \(log b\) hay \(lg b\). – Lôgarit cơ số e của số thực dương b được gọi là lôgarit tự nhiên của b và kí hiệu là \(ln b\). |
1.2. Một số tính chất của phép tính Lôgarit
Lôgarit của một tích, một thương
|
Với ba số thực dương a, m, n và \(a\ne 1\), ta có: – \({{\log }_{a}}mn={{\log }_{a}}m+{{\log }_{a}}n\) – \({{\log }_{a}}\left( \frac{m}{n} \right)={{\log }_{a}}m-{{\log }_{a}}n\) |
Chú ý:
Với n số thực dương \({{b}_{1}},{{b}_{2}},…,{{b}_{n}}\) thì:
\({{\log }_{a}}\left( {{b}_{1}}.{{b}_{2}}…{{b}_{n}} \right)={{\log }_{a}}{{b}_{1}}+{{\log }_{a}}{{b}_{2}}+…+{{\log }_{a}}{{b}_{n}}(a>0,a\ne 1)\)
Lôgarit của một luỹ thừa
|
Cho \(a > 0, a \ne 1, b > 0\). Với mọi số thực \( \alpha\), ta có: \({{\log }_{a}}{{b}^{\alpha }}=\alpha {{\log }_{a}}b\) |
Đổi cơ số của Lôgarit
|
Với a, c là hai số thực dương khác 1 và b là số thực dương, ta có: \({{\log }_{a}}b=\frac{{{\log }_{c}}b}{{{\log }_{c}}a}\) |
Nhận xét:
Với a > 0 và \(a\ne 1\), b > 0 và \(b\ne 1\), c > 0, \(\alpha \ne 0\), ta có những công thức sau:
1) \({{\log }_{a}}b.{{\log }_{b}}c={{\log }_{a}}c\)
2) \({{\log }_{a}}b=\frac{1}{{{\log }_{b}}a}\)
3) \({{\log }_{{{a}^{\alpha }}}}b=\frac{1}{\alpha }{{\log }_{a}}b\)
1.3. Sử dụng máy tính cầm tay để tính Lôgarit
Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính lôgarit. Cụ thể như sau (lấy kết quả với 4 chữ số ở phần thập phân):
.jpg)
Chú ý:
Với máy tính không có phím .jpg)
thì để tính \({{\log }_{5}}3\), ta có thể dùng công thức
đổi cơ số để đưa về cơ số 10 hoặc cơ số e.
Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) \(A = {\log _9}15 + {\log _9}18 – {\log _9}10\)
b) \(B = {\log _{36}}2 – \frac{1}{2}{\log _{\frac{1}{6}}}3\)
c) \(C = {\log _{\frac{1}{4}}}\left( {{{\log }_3}4.{{\log }_2}3} \right)\)
Hướng dẫn giải
a) \(A = {\log _9}15 + {\log _9}18 – {\log _9}10 = {\log _9}\frac{{15.18}}{{10}} = {\log _9}{3^3} = \frac{1}{2}{\log _3}{3^3} = \frac{3}{2}\)
b) \(B = {\log _{36}}2 – \frac{1}{2}{\log _{\frac{1}{6}}}3 = \frac{1}{2}{\log _6}2 + \frac{1}{2}{\log _6}3 = \frac{1}{2}{\log _6}2.3 = \frac{1}{2}\)
c) \(C = {\log _{\frac{1}{4}}}\left( {{{\log }_3}4.{{\log }_2}3} \right) = – {\log _4}\left( {{{\log }_2}3.{{\log }_3}4} \right)\)
\(= – {\log _4}\left( {{{\log }_2}4} \right) = – \frac{1}{2}{\log _2}2 = – \frac{1}{2}\)
Bài 2. Tính các giá trị biểu thức sau (Giả sử các biểu thức đều xác định):
a) \(A = {\log _a}{a^3}\sqrt a \sqrt[5]{a}\)
b) \(B={\log _{\frac{1}{a}}}\frac{{a\sqrt[5]{{{a^3}}}\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt a \sqrt[4]{a}}}\)
Hướng dẫn giải
a) \(A = {\log _a}{a^3}\sqrt a \sqrt[5]{a} = {\log _a}\left( {{a^{3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{5}}}} \right) = 3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{{37}}{{10}}\)
b) \(B=lo{g_{\frac{1}{a}}}\frac{{a\sqrt[5]{{{a^3}}}\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt a \sqrt[4]{a}}} = – {\log _a}\left( {\frac{{{a^{1 + \frac{3}{5} + \frac{2}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}}}}}} \right) = – \left( {\frac{{34}}{{15}} – \frac{3}{4}} \right) = – \frac{{91}}{{60}}\)