1.1. Góc giữa hai mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc
|
– Cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Lấy các đường thẳng a, b tương ứng vuông góc với (P), (Q). Khi đó, góc giữa a và b không phụ thuộc vào vị trí của a, b và được gọi là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). – Hai mặt phẳng (P) và (Q) được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90°. |
Chú ý: Nếu \(\varphi\) là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) thì 0 \(\le \varphi \le\)90°.
Nhận xét: (H.7.46) Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến \(\Delta\). Lấy hai đường thẳng m, n tương ứng thuộc (P), (Q) và cùng vuông góc với \(\Delta\) tại một điểm O. Khi đó, góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa m và n.
Đặc biệt, (P) vuông góc với (Q) khi và chỉ khi m vuông góc với n.
1.2. Điều kiện hai mặt phẳng vuông góc
| Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. |
1.3. Tính chất hai mặt phẳng vuông góc
|
Với hai mặt phẳng vuông góc với nhau, bất ki đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia. |
Nhận xét: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Mỗi đường thẳng qua điểm O thuộc (P) và vuông góc với mặt phẳng (Q) thi đường thẳng đó thuộc mặt phẳng (P).
|
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó. |
1.4. Góc nhị diện
| Hình gồm hai nửa mặt phẳng (P), (Q) có chung bờ a được gọi là một góc nhị diện, kí hiệu là [P, a, Q] . Đường thẳng a và các nửa mặt phẳng (P), (Q) tương ứng được gọi là cạnh và các mặt của góc nhị diện đó. |
| Từ một điểm O bất kì thuộc cạnh a của góc nhị diện [P, a, Q], vẽ các tia Ox, Oy tương ứng thuộc (P), (Q) và vuông góc với a. Góc xOy được gọi là một góc phẳng của góc nhị diện [P, a, Q] (gọi tắt là góc phẳng nhị diện). Số đo của góc xOy không phụ thuộc vào vị trí của O trên a, được gọi là số đo của góc nhị diện [P, a, Q]. |
Chú ý:
– Số đo của góc nhị diện có thể nhận giá trị từ 0° đến 180°. Góc nhị diện được gọi là vuông, nhọn, tù nếu nó có số đo tương ứng bằng, nhỏ hơn, lớn hơn 90°.
– Đối với hai điểm M, N không thuộc đường thẳng a, ta kí hiệu [M, a, N] là góc nhị diện có cạnh a và các mặt tương ứng chứa M, N.
– Hai mặt phẳng cắt nhau tạo thành bốn góc nhị diện. Nếu một trong bốn góc nhị diện đó là góc nhị diện vuông thì các góc nhị diện còn lại cũng là góc nhị diện vuông.
1.5. Một số hình lăng trụ đặc biệt
a) Hình lăng trụ đứng
– Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
– Hình lăng trụ đứng có các mặt bên là các hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy.
b) Hình lăng trụ đều
– Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đây là đa giác đều có đều.
– Hình lăng trụ đều có các mặt bên là các hinh chữ nhật có cùng kích thước.
c) Hình hộp đứng
– Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng, có đây là hình bình hành.
– Hình hộp đứng có các mặt bên là các hình chữ nhật.
d) Hình hộp chữ nhật
– Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
– Hình hộp chữ nhật có các mặt bên là hình chữ nhật. Các đường chéo của hình hộp chữ nhật có độ dài bằng nhau và chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
e) Hình lập phương
– Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.
– Hình lập phương có các mặt là các hình vuông.
Chú ý: Khi đáy của hình lăng trụ đứng (đều) là tam giác, tứ giác, ngũ giác… đôi khi ta cũng tương ứng gọi rõ là hình lăng trụ đứng (đều) tam giác, từ giác, ngũ giác,…
1.6. Hình chóp đều và hình chóp cụt đều
a) Hình chóp đều
– Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
Chú ý. Tương tự như đối với hình chóp, khi đáy của hình chóp đều là tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều,… đôi khi ta cũng gọi rõ chúng tương ứng là chóp tam giác đều, tứ giác đều, ngũ giác đều,…
– Một hình chóp là đều khi và chỉ khi đáy của nó là một hình đa giác đều và hình chiếu của đỉnh trên mặt phẳng đây là tâm của mặt đáy.
b) Hình chóp cụt đều
– Khi cắt hình chóp đều bởi 1 mặt phẳng song song với đáy để được 1 hình chóp cụt thì hình chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều.
– Đoạn nối tâm 2 đáy được gọi là đường cao của hình chóp cụt đều.
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính số đo của góc giữa (BA’C) và (DA’C).
Hướng dẫn giải
.png)
Kẻ \(BH \bot A’C,{\rm{ (H}} \in {\rm{A’C)}}\) (1).
Mặt khác: \(BD \bot AC{\rm{ (gt)}}\)
\(AA’ \bot (ABCD) \Rightarrow AA’ \bot BD{\rm{ }}\)
\(\Rightarrow BD \bot (ACA’) \Rightarrow BD \bot A’C\) (2)
Từ (1) (2) suy ra:
\(A’C \bot (BDH) \Rightarrow A’C \bot DH\)
Do đó: \((\widehat {(BA’C),(DA’C)}) = (\widehat {HB,HD})\)
Xét tam giác BCA’ ta có:
\(\frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{{B{C^2}}} + \frac{1}{{BA{‘^2}}} = \frac{3}{{2{a^2}}} \Rightarrow BH = a.\sqrt {\frac{2}{3}} \Rightarrow DH = a.\sqrt {\frac{2}{3}}\)
Ta có:
\(\cos \widehat {BHD} = \frac{{2B{H^2} – B{D^2}}}{{2B{H^2}}} = – \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {BHD} = {120^0}>90^0\)
Vậy: \(\widehat {((BA’C),(DA’C))} =180^0-120^0= {60^0}.\)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác cân AB=AC=a, \(\widehat {BAC} = {120^0}\), BB’=a, I là trung điểm của CC’. Tính cosin của góc giữa hai mp(ABC) và (AB’I).
.png)
Ta thấy tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác AB’I lên mặt phẳng (ABC).
Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I).
Theo công thức hình chiếu ta có: \(\cos \varphi = \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AB’I}}}}\).
Ta có:
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin {120^0} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
\(AI = \sqrt {A{C^2} + C{I^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
\(AB’ = \sqrt {A{B^2} + BB{‘^2}} = a\sqrt 2\)
\(IB’ = \sqrt {B’C{‘^2} + IC{‘^2}} = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}.\)
Suy ra: Tam giác AB’I vuông tại A nên \({S_{AB’I}} = \frac{1}{2}.AB’.AI = \frac{{{a^2}\sqrt {10} }}{4}\).
Vậy: \(\cos \varphi = \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AB’I}}}} = \sqrt {\frac{3}{{10}}} .\)