1.1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp
a) Đạo hàm của hàm số y = \(x^n\) (n \(\in\) N)
\[{\left( {{x^n}} \right)’} = n{x^{n – 1}}, x\in R.\]
b) Đạo hàm của hàm số y = \(\sqrt x\)
\[{\left( {\sqrt x } \right)’} = \frac{1}{{2\sqrt x }}, x\in (0;+\infty).\]
1.2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
Giả sử \(u = u\left( x \right)\) và \(v = v\left( x \right)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng (a; b). Ta có:
+ \({\left( {u + v} \right)’} = {u’} + {v’}\)
+ \({\left( {u – v} \right)’} = {u’} – {v’}\)
+ \({\left( {u.v} \right)’} = {u’}.v + u.{v’}\)
+ \(\left ( \frac{u}{v} \right )’=\frac{u’v-uv’}{v^2}, (v(x) \ne 0)\)
Chú ý:
– Quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu có thể áp dụng cho tổng, hiệu của hai hay nhiều hàm số.
– Với k là một hằng số thì: \((ku)’=ku’.\)
– \({\left( {\frac{1}{v}} \right)’} = – \frac{{ – v’}}{{{v^2}}}\) , \((v(x)\ne 0)\)
1.3. Đạo hàm của hàm số hợp
a) Khái niệm hàm số hợp
Giả sử u = g(x) là hàm số xác định trên khoảng (a; b), có tập giá trị chứa trong khoảng (c, d) và y = f(u) là hàm số xác định trên khoảng (c; d). Hàm số y = f(g(x)) được gọi là hàm số hợp của hàm số y = f(u) với u = g(x).
b) Đạo hàm của hàm số hợp
Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm \(u’_x\) tại x và hàm số y = f(u) có đạo hàm \(y’_u\) tại u thì hàm số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm \(y’_x\) tại x là
\[y’_x=y’_u.u’_x.\]
1.4. Đạo hàm của hàm số lượng giác
a) Đạo hàm của hàm số y = sin x
Hàm số y = sinx có đạo hàm trên R và (sin x)’ = cos x.
Đối với hàm số hợp y = sinu, với u = u(x), ta có (sinu)’ = u’. cosu.
b) Đạo hàm của hàm số y = cos x
Hàm số y = cosx có đạo hàm trên R và ( cos x )’ = – sin x.
Đối với hàm số hợp y = cosu, với u = u(x), ta có: (cosu)’ =–u’. sinu.
c) Đạo hàm của các hàm số y= tan x và y = cot x
\(\begin{array}{l} {\left( {\tan x} \right)’} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} & \Rightarrow {\left( {\tan u} \right)’} = \frac{{u’}}{{{{\cos }^2}u}}\\ {\left( {\cot x} \right)’} = – \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} & \Rightarrow {\left( {\cot u} \right)’} = – \frac{{u’}}{{{{\sin }^2}u}} \end{array}\)
1.5. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit
a) Giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = e;\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x} = 1;\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} – 1}}{x} = 1. \end{array}\)
b) Đạo hàm của hàm số mũ
\(\begin{array}{l} \left( {{e^x}} \right)’ = {e^x}, \text{với mọi }x \in R \\ \Rightarrow \left( {{e^u}} \right)’ = u’.{e^u}\\ \left( {{a^x}} \right)’ = {a^x}\ln a,\,\text{với mọi }0 < a \ne 1,\,x \in R \\ \Rightarrow \left( {{a^u}} \right)’ = u’.{a^u}.\ln a \end{array}\)
c) Đạo hàm của hàm số lôgarit
\(\begin{array}{l} \left( {\ln x} \right)’ = \frac{1}{x} \text{với mọi } x\in (0;+\infty)\\ \Rightarrow \left( {\ln u} \right)’ = \frac{{u’}}{u}\\ \left( {{{\log }_a}x} \right)’ = \frac{1}{{x\ln a}} \text{với mọi } x\in (0;+\infty) \\\Rightarrow \left( {{{\log }_a}u} \right)’ = \frac{{u’}}{{u\ln a}} \end{array}\)
Chú ý:
\[\left( {\ln \left| x \right|} \right)’ = \frac{1}{x}, \text{với mọi } x\ne 0.\]
Như vậy, chúng ta có bảng đạo hàm cho các hàm cơ bản như sau:
Câu 1:
a) Cho hàm số f(x)=x6. Tính f'(x) và f'(1).
b) Tính đạo hàm của hàm số \(y=\sqrt x\) tại x=9.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có: \(f'(x) = 6{x^5},\forall x \in \mathbb{R}\)
Vậy: \(f'(1) = 6.\)
b) Ta có: \(f'(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\)
Tại x=9 ta có: \(f'(9) = \frac{1}{{2\sqrt 9 }} = \frac{1}{6}.\)
Câu 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{x}.\)
b) \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}.\)
c) \(y = \frac{{ – {x^2} + 2x + 3}}{{{x^3} – 2}}.\)
Hướng dẫn giải:
a) \(y’ = \left( {\frac{1}{4}x + \frac{1}{x}} \right)’ = \left( {\frac{1}{4}x} \right)’ + \left( {\frac{1}{x}} \right)’ = \frac{1}{4} – \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} – 4}}{{4{x^2}}}.\)
b) \(y’ = \left( {\frac{{2x + 1}}{{x + 1}}} \right)’ = \frac{{(2x + 1)'(x + 1) – (2x + 1)(x + 1)’}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}.\)
c) \(y’ = \left( {\frac{{ – {x^2} + 2x + 3}}{{{x^3} – 2}}} \right)’ = \frac{{( – {x^2} + 2x + 3)'({x^3} – 2) – ( – {x^2} + 2x + 3)({x^3} – 2)’}}{{{{({x^3} – 2)}^2}}}\)
\(= \frac{{\left( { – 2x + 2} \right)({x^3} – 2) – 3{x^2}( – {x^2} + 2x + 3)}}{{{{({x^3} – 2)}^2}}} = \frac{{{x^4} – 4{x^3} – 9{x^2} + 4x – 4}}{{{{({x^3} – 2)}^2}}}.\)