1.1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Định nghĩa:
Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói góc giữa đường thẳng a với (P) bằng 900.
Nếu đường thẳng a không vuông góc với (P) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của a trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và (P).
Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) được kí hiệu là (a, (P)).
Chú ý:
+) Góc a giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn thoả mãn 0 < a < 900.
+) Nếu đường thẳng a nằm trong (P) hoặc a song song với (P) thì (a, (P)) = 00.
1.2. Góc nhị diện và góc phẳng nhị diện
a) Góc nhị diện
Định nghĩa:
Cho hai nửa mặt phẳng (P1) và (Q1) có chung bờ là đường thẳng d. Hình tạo bởi (P1), (Q1) và d được gọi là góc nhị diện tạo bởi (P1) và (Q1), kí hiệu [P1, d, Q1].
Hai nửa mặt phẳng (P1), (Q1) gọi là hai mặt của nhị diện và d gọi là cạnh của nhị diện.
Chú ý:
+) Hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến ở tạo thành bốn góc nhị diện.
+) Góc nhị diện [P1, d, Q1] còn được kí hiệu là [M, d, N] với M, N tương ứng thuộc hai nửa mặt phẳng (P1), (Q1).
b) Góc phẳng nhị diện
Góc phẳng nhị diện của góc nhị diện là góc có đỉnh nằm trên cạnh của nhị diện, có hai cạnh lần lượt nằm trên hai mặt của nhị diện và vuông góc với cạnh của nhị diện.
Chú ý:
+) Đối với một góc nhị diện, các góc phẳng nhị diện đều bằng nhau.
+) Nếu mặt phẳng (R) vuông góc với cạnh d của góc nhị diện và cắt hai mặt (P1), (Q1) của góc nhị diện theo hai nửa đường thẳng Ou và Ov thì góc uOv là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện tạo bởi (P1), (Q1).
+) Góc nhị diện có góc phẳng nhị diện là góc vuông được gọi là góc nhị diện vuông.
+) Số đo góc phẳng nhị diện được gọi là số đo góc nhị diện.
+) Số đo góc nhị diện nhận giá trị tử 00 đến 1800.
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết SA=\(a\sqrt 3 \), AB=\(a\) và BC=\(2a\sqrt 2 \).
a. Xác định và tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy (ABCD).
b. Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và mặt đáy (ABCD).
Lời giải chi tiết:
a. Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)
=> A là hình chiếu của S lên (ABCD).
=> AC là hình chiếu của SC lên (ABCD).
=> Góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC và AC và bằng \(\widehat {SCA}\).
Ta có ABCD là hình chữ nhật nên \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 3a\)
\(\tan \widehat {SCA} = \dfrac{{SA}}{{AC}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = > \widehat {SCA} = 30^\circ \)
Vậy góc giữa SC và (ABCD) là \(30^\circ \).
b. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\)
=>\(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\)
Mà \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\end{array} \right.\)
=> Góc giữa (SBC) và (ABCD) là \(\widehat {SBA}\)
\(\tan \widehat {SBA} = \dfrac{{SA}}{{BA}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SBA} = 60^\circ \).
Vậy góc giữa (SBC) và (ABCD) là \(60^\circ \).