1.1. Hình lăng trụ đứng. Hình lăng trụ đều
Định nghĩa
|
– Hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy được gọi là hình lăng trụ đứng. – Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều gọi là hình lăng trụ đều. – Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng. |
.jpg)
Chú ý:
Khi đáy của hình lăng trụ đứng lần lượt là tứ giác, ngũ giác, lục giác, ta gọi hình lăng trụ đứng đó lần lượt là hình lăng trụ đứng tứ giác (Hình a), hình lăng trụ đứng ngũ giác (Hình b), hình lăng trụ đứng lục giác (Hình c).
.jpg)
Nhận xét:
– Mỗi mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật, mặt phẳng chứa nó vuông góc với mặt đáy.
– Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
+ Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là hình chữ nhật.
+ Nếu mỗi mặt của hình hộp là hình chữ nhật thì hình hộp đó là hình hộp chữ nhật.
+ Độ dài các đường chéo của hình hộp chữ nhật là bằng nhau.
– Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các mặt là hình vuông.
1.2. Hình chóp đều. Hình chóp cụt đều
a. Hình chóp đều
Định nghĩa
| Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau. |
Chú ý:
– Khi đáy của hình chóp đều lần lượt là tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều, lục giác đều, ta gọi hình chóp đều đó lần lượt là hình chóp tam giác đều, hình chóp tứ giác đều, hình chóp ngũ giác đều, hình chóp lục giác đều.
– Hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy là tứ diện đều.
Tính chất
| Chân đường cao của hình chóp đều là tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy. |
b. Hình chóp cụt đều
Định nghĩa
|
– Cho hình chóp đều \(S.{A_1},{A_2},{A_3},…,{A_n}\). Mặt phẳng (P) song song với đáy của hình chóp và cắt các cạnh \(S{A_1}, S{A_2}, S{A_3},…,S{A_n}\) lần lượt tại \({B_1}, {B_2},…,{B_n}\). – Phần của hình chóp đã cho giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và \({A_1}{A_2}…{A_n}\) được gọi là hình chóp cụt đều \({A_1}{A_2}…{A_n}.{B_1}{B_2}…{B_n}\). |
Trong hình chóp cụt đều \({A_1}{A_2}…{A_n}.{B_1}{B_2}…{B_n}\), ta gọi:
– Các đa giác \({A_1}{A_2}…{A_n},{B_1}{B_2}…{B_n}\), lần lượt là đáy lớn, đáy nhỏ;
– Các tứ giác \({A_1}{A_2}{B_2}{B_1},{A_2}{A_3}{B_3}{B_2},…,{A_n}{A_1}{B_1}{B_n}\) là các mặt bên.
– Các đoạn thẳng \({A_1}{B_1},{A_2}{B_2},…,{A_n}{B_n}\) là các cạnh bên.
– Các cạnh của hai đa giác \({A_1}{A_2}…{A_n},{B_1}{B_2}…{B_n}\) là các cạnh đáy.
– Đoạn thẳng nối tâm của hai đáy là đường cao; độ dài đường cao là chiều cao.
Tuỳ theo đáy là tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều,…, ta có hình chóp cụt tam giác đều, hình chóp cụt tứ giác đều, hình chóp cụt ngũ giác đều,…
Nhận xét:
– Hai đáy của hình chóp cụt đều nằm trên hai mặt phẳng song song và có các cạnh tương ứng song song; đồng thời hai đáy đó là các đa giác đều có cùng số cạnh.
– Mỗi mặt bên của hình chóp cụt đều là một hình thang cân.
– Các đường thẳng chứa cạnh bên của hình chóp cụt đều cùng đi qua một điểm.
– Đường cao của hình chóp cụt đều thì vuông góc với hai đáy của hình chóp cụt đều đó (chẳng hạn, đoạn thẳng OO’ trong Hình bên dưới).
.jpg)
1.3. Thể tích một số hình khối
– Phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ (kể cả hình lăng trụ ấy) được gọi là khối lăng trụ. Ta định nghĩa tương tự các khối sau: khối hộp, khối chóp, khối chóp cụt đều.
– Đỉnh, cạnh, mặt của các khối lăng trụ, khối hộp, khối chóp, khối chóp cụt đều là đỉnh, cạnh mặt của các hình lăng trụ, hình hộp, hình chóp, hình chóp đều tương ứng.
a. Thể tích của hình khối lăng trụ
Định lí
| Thể tích của khối lăng trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao. |
– Cụ thể, ta có: \(V = S . h\), trong đó V là thể tích của khối lăng trụ, S là diện tích của đáy và h là chiều cao của khối lăng trụ.
Nhận xét:
– Do chiều cao của khối lăng trụ đứng bằng độ dài cạnh bên nên thể tích của khối lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân với độ dài cạnh bên.
– Vì khối hộp là khối lăng trụ có đáy là hình bình hành nên thể tích của khối hộp bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.
– Thể tích của khối hộp chữ nhật với ba kích thước: chiều dài a, chiều rộng b, chiều cao c, là: \(V = abc\).
– Thể tích của khối lập phương cạnh a là: \(V = {{a}^{3}}\).
.jpg)
b. Thể tích của khối chóp và khối chóp cụt đều
Định lí
| Thể tích của khối chóp bằng một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao. |
– Cụ thể, ta có: \(V= \frac {{1}{3}} S . h\), trong đó V là thể tích của khối chóp, S là diện tích của đáy và h là chiều cao của khối chóp.
Định lí
|
– Thể tích của khối chóp cụt đều được tính theo công thức: \(V=\frac{1}{3}h({{S}_{1}}+\sqrt{{{S}_{1}}{{S}_{2}}}+{{S}_{2}})\) trong đó h là chiều cao và \({{S}_{1}}, {{S}_{2}}\) lần lượt là diện tích hai đáy của khối chóp cụt đều. |
Bài 1. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, \(AC=a\sqrt3\), cạnh A’B = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’?
Hướng dẫn giải:
.png)
Tam giác ABC vuông tại B nên \(BC=\sqrt {A{C^2} – A{B^2}} = a\sqrt 2.\)
Suy ra: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.\)
Tam giác A’AB vuông tại A nên: \(A’A = \sqrt {A'{B^2} – A{B^2}} = a\sqrt 3 .\)
Vậy thể tích khối lăng trụ là: \({V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{ABC}}.A’A = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}.\)
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, \(AB=a \sqrt 2, AC=a \sqrt 3\), cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SB=a \sqrt 3.\) Tính thể tích khối chóp S.ABC?
Hướng dẫn giải:
Tam giác ABC vuông tại B nên \(BC = \sqrt {A{C^2} – A{B^2}} = a.\)
Suy ra: \({{\rm{S}}_{\Delta {\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{1}{2}.a\sqrt 2 .a = \frac{{{a^2}.\sqrt 2 }}{2}\)
Tam giác SAB vuông tại A có \(SA = \sqrt {S{B^2} – A{B^2}} = a.\)
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}.\sqrt 2 }}{2}.a = \frac{{{a^3}.\sqrt 2 }}{6}.\)