Giải SGK Toán 11 Bài 2 (Cánh diều): Các quy tắc tính đạo hàm


Giải bài tập Toán lớp 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

Câu hỏi khởi động trang 64 Toán 11 Tập 2: Ta có thể tính đạo hàm của hàm số bằng cách sử dụng định nghĩa. Tuy nhiên, cách làm đó là không thuận lợi khi hàm số được cho bằng những công thức phức tạp. Trong thực tiễn, để tính đạo hàm của một hàm số ta thường sử dụng các quy tắc tính đạo hàm để đưa việc tính toán đó về tính đạo hàm của những hàm số sơ cấp cơ bản.

Đạo hàm của những hàm số sơ cấp cơ bản là gì?

Làm thế nào để thực hiện được các quy tắc đạo hàm?

Lời giải:

Để trả lời được các câu hỏi trên, chúng ta cùng tìm hiểu bài học này.

I. Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản

Hoạt động 1 trang 64 Toán 11 Tập 2: a) Tính đạo hàm của hàm số y = x2 tại điểm x0 bất kì bằng định nghĩa.

b) Dự đoán đạo hàm của hàm số y = xn tại điểm x bất kì.

Lời giải:

a) ⦁ Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x0.

Ta có ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0) = (x0 + ∆x)2 – (x0)2

              =x02+2x0Δx+Δx2x02

              =2x0Δx+Δx2=Δx2x0+Δx.

Suy ra ΔyΔx=Δx2x0+ΔxΔx=2x0+Δx.

⦁ Ta thấy limΔx0ΔyΔx=limΔx02x0+Δx=2x0+0=2x0.

Vậy đạo hàm của hàm số y = x2 tại điểm x0 bất kì là y’(x0) = 2x0.

b) Dự đoán: y’ = nxn – 1.

Luyện tập 1 trang 64 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số y = x22

a) Tính đạo hàm của hàm số trên tại điểm x bất kì.

b) Tính đạo hàm của hàm số trên tại điểm x0 =1

Lời giải:

a) Ta có: y’ = (x22)’ = 22x21

b) Đạo hàm của hàm số tại điểm x0 = –1 là y'(–1) = 22 . (–1)21 = 22 . (–1) = –22

Hoạt động 2 trang 65 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số y=x tại điểm x0 = 1 bằng định nghĩa

Lời giải:

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x0 = 1.

Ta có Δy=f1+Δxf1=1+Δx1=1+Δx1

Suy ra limΔx0ΔyΔx=limΔx01+Δx1Δx

             =limΔx01+Δx11+Δx+1Δx1+Δx+1

             =limΔx01+Δx1Δx1+Δx+1=limΔx0ΔxΔx1+Δx+1

              =limΔx011+Δx+1=11+0+1=12.

Luyện tập 2 trang 65 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số fx=x tại điểm x0 = 9

Lời giải:

Ta có :fx=12xvới x > 0.

Vậy đạo hàm của hàm số trên tại điểm x= 9 là f9=129=123=16.

Hoạt động 3 trang 65 Toán 11 Tập 2: Bằng cách sử dụng kết quả limx0sinxx=1 tính đạo hàm của hàm số y = sinx tại điểm x bất kì bằng định nghĩa

Lời giải:

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x bất kì.

Ta có Δy=fx+Δxfx=sinx+Δxsinx=2cosx+Δx2sinΔx2

Suy ra limΔx0ΔyΔx=limΔx02cosx+Δx2sinΔx2Δx

=limΔx0cosx+Δx2sinΔx2Δx2

=limΔx0cosx+Δx2limΔx0sinΔx2Δx2

=limΔx0cosx+Δx2limΔx20sinΔx2Δx2

=cosx+021=cosx. 

Vậy đạo hàm của hàm số y = sinx tại điểm x bất kì là y’ = cosx.

Luyện tập 3 trang 65 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = sinx tại điểm x0=π2

Lời giải:

Ta có f’(x) = cosx.

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm x0=π2 là: fπ2=cosπ2=0

Hoạt động 4 trang 65 Toán 11 Tập 2: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = cosx tại điểm x bất kì

Lời giải:

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x bất kì.

Ta có Δy=fx+Δxfx=cosx+Δxcosx=2sinx+Δx2sinΔx2

Suy ra limΔx0ΔyΔx=limΔx02sinx+Δx2sinΔx2Δx

 =limΔx0sinx+Δx2sinΔx2Δx2

=limΔx0sinx+Δx2limΔx0sinΔx2Δx2

=limΔx0sinx+Δx2limΔx20sinΔx2Δx2

=sinx+021=sinx.

Vậy đạo hàm của hàm số y = cosx tại điểm x bất kì là y’ = –sinx.

Luyện tập 4 trang 66 Toán 11 Tập 2: Một vật dao động theo phương trình f(x) = cosx, trong đó x là thời gian tính theo giây. Tính vận tốc tức thời của vật tại thời điểm x0 = 2

Lời giải:

Ta có:f’(x)= –sinx

Vậy vận tốc tức thời của vật tại thời điểm x0 = 2 là: f’(2) = –sin2

Hoạt động 5 trang 66 Toán 11 Tập 2: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = tanx tại điểm x bất kì, xπ2+kπ(k ∈ ℤ)

Lời giải:

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x bất kì, xπ2+kπ(k ∈ ℤ)

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = tan(x + ∆x) – tanx.

Suy ra limΔx0ΔyΔx=limΔx0tanx+ΔxtanxΔx

=limΔx0sinx+Δxcosx+ΔxsinxcosxΔx

=limΔx0sinx+Δxcosxcosx+ΔxsinxΔxcosx+Δxcosx

=limΔx0sinx+ΔxxΔxcosx+Δxcosx

=limΔx0sinΔxΔxcosx+Δxcosx

=limΔx0sinΔxΔxlimΔx01cosx+Δxcosx

=11cosx+0cosx=1cos2x.

Vậy đạo hàm của hàm số y = tanx tại điểm x bất kì, xπ2+kπ(k ∈ ℤ) là y=1cos2x.

Luyện tập 5 trang 66 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = tanx tại điểm x0=π6

Lời giải:

Ta có fx=1cos2x xπ2+kπ,  k.

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm x0=π6 là: 

fπ6=1cos2π6=1322=43

Hoạt động 6 trang 66 Toán 11 Tập 2: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = cotx tại điểm x bất kì, x ≠ kπ (k∈ ℤ)

Lời giải:

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x bất kì, x ≠ kπ (k ∈ ℤ).

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = cot(x + ∆x) – cotx.

Suy ra limΔx0ΔyΔx=limΔx0cotx+ΔxcotxΔx

                        =limΔx0cosx+Δxsinx+ΔxcosxsinxΔx

                        =limΔx0cosx+Δxsinxsinx+ΔxcosxΔxsinx+Δxsinx

                        =limΔx0sinxxΔxΔxsinx+Δxsinx

                        =limΔx0sinΔxΔxsinx+Δxsinx

                        =limΔx0sinΔxΔxlimΔx01sinx+Δxsinx

                        =11sinx+0sinx=1sin2x.

Vậy đạo hàm của hàm số y = cotx tại điểm x bất kì, x ≠ kπ (k ∈ ℤ) là y=1sin2x.

Luyện tập 6 trang 66 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = cotx tại điểm x0=π3

Lời giải:

Ta có: fx=1sin2x (x ≠ kπ, k ∈ ℤ)

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm x0=π3 là:

fπ3=1sin2π3=1322=43.

Hoạt động 7 trang 67 Toán 11 Tập 2: Bằng cách sử dụng kết quả limx0ex1x=1 tính đạo hàm của hàm số y = ex tại điểm x bất kì bằng định nghĩa

Lời giải:

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x bất kì.

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = ex + ∆x – ex.

Suy ra limΔx0ΔyΔx=limΔx0ex+ΔxexΔx=limΔx0exeΔx1Δx=exlimΔx0eΔx1Δx=ex1=ex.

Vậy đạo hàm của hàm số y = ex tại điểm x bất kì là y’ = ex.

Luyện tập 7 trang 67 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 10x tại điểm x0 = –1

Lời giải:

Ta có f’(x) = 10xln10

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm x0 =–1 là f1=101ln10=ln1010

Hoạt động 8 trang 67 Toán 11 Tập 2: Bằng cách sử dụng kết quả limx0ln1+xx=1 tính đạo hàm của hàm số y = lnx tại điểm x dương bất kì bằng định nghĩa

Lời giải:

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x bất kì.

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = ln(x + ∆x) – lnx.

Suy ra limΔx0ΔyΔx=limΔx0lnx+ΔxlnxΔx

=limΔx0lnx+ΔxxΔx=limΔx0ln1+ΔxxΔx

=limΔx01xln1+ΔxxΔxx=1xlimΔxx0ln1+ΔxxΔxx=1x

Vậy đạo hàm của hàm số y = lnx tại điểm x dương bất kì là y=1x.

Luyện tập 8 trang 67 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = logx tại điểm x0=12.

Lời giải:

Ta có: fx=1xln10(x > 0).

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm x0=12là f12=112ln10=2ln10.

II. Đạo hàm của tổng,hiệu,tích,thương và đạo hàm của hàm hợp

Hoạt động 9 trang 68 Toán 11 Tập 2: Cho hai hàm số f(x), g(x) xác định trên khoảng (a; b) cùng có đạo hàm tại điểm x0>∈ (a; b).

a) Xét hàm số h(x) = f(x) + g(x), x ∈ (a; b). So sánh:

limΔx0hx0+Δxhx0Δx và limΔx0fx0+Δxfx0Δx+limΔx0gx0+Δxgx0Δx.

b) Nêu nhận xét về h'(x0) và f'(x0) + g’(x0

Lời giải:

a) Ta có:   limΔx0hx0+Δxhx0Δx

=limΔx0fx0+Δx+gx0+Δxfx0gx0Δx

=limΔx0fx0+Δxfx0Δx+gx0+Δxgx0Δx

=limΔx0fx0+Δxfx0Δx+limΔx0gx0+Δx+gx0Δx.

b) Do hx0=limΔx0hx0+Δxhx0Δx;

fx0=limΔx0fx0+Δxfx0Δx;

gx0=limΔx0gx0+Δxgx0Δx.

 Nên h’(x0) = f’(x0) + g’(x0.

Luyện tập 9 trang 68 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số fx=xx tại điểm x dương bất kì

Lời giải:

Ta có: fx=xx=xx+xx

=1x+x12x=x+x2=3x2(x > 0)

Luyện tập 10 trang 69 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = tanx + cotx tại điểm x0=π3

Lời giải:

Xét f(x) = tanx + cotx, ta có:fx=1cos2x1sin2xvới xπ2+kπ và x ≠ kπ (k∈ ℤ).

Vậy đạo hàm của hàm số trên là 

fπ3=1cos2π31sin2π3=11221322=443=83.

Hoạt động 10 trang 69 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số y = f(u) = sinu; u = g(x) = x2.

a) Bằng cách thay đổi u bởi x2 trong biểu thức sinu, hãy biểu thị giá trị của u theo biến số x.

b) Xác định hàm số y = f(g(x))

Lời giải:

a) Ta có y = f(u) = sinu = sin(x2). style=”color: #00b050;”> 

b) Ta có y = f(g(x)) = f(x2) = sin(x2)

Luyện tập 11 trang 69 Toán 11 Tập 2: Hàm số y = log2(3x + 1)là hàm hợp của hai hàm số nào?

Lời giải:

Đặt u = 3x + 1, ta có y = log2u

Vậy y = log2(3x + 1) là hàm hợp của hai hàm số y = log2u và u = 3x + 1

Luyện tập 12 trang 71 Toán 11 Tập 2: Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) y = e3x + 1

b)y = log3(2x – 3)

Lời giải:

a) Đặt u = 3x + 1, ta có y = eu.

Khi đó yu=eu=eu và ux=3.

Theo công thức tính đạo hàm của hàm hợp, ta có: 

              yx=yuux=eu3=3eu=3e3x+1.

b) Đặt u = 2x – 3, ta có y = log3u.

Khi đó yu=log3u=1uln3 và ux=2.

Theo công thức tính đạo hàm của hàm hợp, ta có:

yx=yuux=1uln32=3=2uln3=22x3ln3.

Bài tập

Bài 1 trang 71 Toán 11 Tập 2: Cho u = u(x), v = v(x), w = w(x) là các hàm số tại điểm x thuộc khoảng xác định. Phát biểu nào sau đây là đúng?

a) (u + v + w)’ = u’ + v’ + w’;

b) (u + v – w)’ = u’ + v’ – w’;

c) (uv)’ = u’v’;

d) uv=uv với v = v(x) ≠ 0, v’ = v'(x) ≠ 0.

Lời giải:

Phát biểu đúng là: a), b).

Phát biểu c) sai vì (uv)’ = u’v + uv’.

Phát biểu (d) sai vì uv=uvuvv2.

Bài 2 trang 71 Toán 11 Tập 2: Cho u = u(x), v = v(x), w = w(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.

Chứng minh rằng (u .  v . w)’ = u’ . v . w + u . v’ . w + u . v . w’.

Lời giải:

Đặt g = u . v và h = g . w.

Khi đó h’ = g’ . w + g . w’

              = (uv)’ . w + (uv) . w’

             = (u’v + uv’) . w + (uv) . w’

              = u’ . v . w + u . v’ . w + u . v . w’.

Bài 3 trang 71 Toán 11 Tập 2: Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) y = 4x3 – 3x2 + 2x + 10;

b,y=x+1x1;

c) y=2xx;  

d) y = 3sinx + 4cosx – tanx;

e) y = 4x + 2ex;             

g) y = xlnx.

Lời giải:

a) y’ = (4x3)’ – (3x2)’ + (2x)’ + (10)’

        = 4.3.x2 – 3.2.x + 2.1

        = 12x2 – 6x + 2.

b) y=x+1x1=x+1x1x+1x1x12

       =1x1x+11x12=x1x1x12=2x12.

c) y= 2xx=2xx +2xx

      =2x2x12x=2xx=3x.   

d) y’ = (3sinx)’ + (4cosx)’ – (tanx)’

       =3cosx4sinx1cos2x.

e) y’ = (4x)’ + (2ex)’

= 4xln4 + 2ex.

g) y’ = (xlnx)’ = (x)’.lnx + x.(lnx)’

       =1lnx+x1x=lnx+1.

Bài 4 trang 71 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = 23x + 2.

a) Hàm số f(x) là hàm hợp của các hàm số nào?

b) Tìm đạo hàm của f(x)

Lời giải:

a) Đặt y = f(x) = 23x + 2 và u = 3x + 2, ta có y = 23x + 2 = 2u.

Vậy y = f(x) = 23x + 2 là hàm hợp của 2 hàm số y = 2u, u = 3x + 2.

b) Từ y = 2u và u = 3x + 2, ta có yu=2u=2uln2 và ux=3.

Theo công thức tính đạo hàm của hàm hợp, ta có:

yx=yuux=2uln23=3ln22u=3ln223x+2.

Bài 5 trang 72 Toán 11 Tập 2: Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) y = sin3x + sin2x

b) y = log2(2x + 1) + 3−2x + 1

Lời giải:

a)y’=(sin3x)’ + (sin2x)

        = (3x)’.cos3x + 2(sinx)’.sinx

        = 3.cos3x + 2cosx.sinx

        = 3cos3x + sin2x.

b) y’ = (log2(2x + 1))’ + (3−2x + 1)’

       =2x+12x+1ln2+132x1=22x+1ln232x132x12

        =22x+1ln22x132x1ln332x12

            =22x+1ln22ln332x1=22x+1ln22ln332x+1.

Bài 6 trang 72 Toán 11 Tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) y = x3 – 3x2 + 4 tại điểm có hoành độ x= 2;

b) y = lnx tại điểm có hoành độ x0 = e;

c) y = ex tại điểm có hoành độ x0 = 0.

Lời giải:

a) Từ y = x3 – 3x2 + 4, ta có: y’ = (x3)’ – (3x2)’ + (4)’ = 3x2 – 6x.

Do đó y'(2) = 3.22 – 6.2 = 12 – 12 = 0.

          y(2) = 23 – 3.22 + 4 = 8 – 12 + 4 = 0.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x0 = 2 là:

y = 0(x – 2) + 0 = 0.

b) Từ y = lnx, ta có: y=lnx=1x

Do đó và ye=1e = lne = 1.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x0 = e là

              y=1exe+1 hay y=1ex.

c) Từ y = ex, ta có: y’ = (ex)’ = ex.

Do đó y'(0) = e0 = 1 và y(0) = e0 = 1.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x0 = 0 là:

y = 1(x – 0) +1 hay y = x + 1.

Bài 7 trang 72 Toán 11 Tập 2: Một viên đạn được bắn từ mặt đất theo phương thẳng đứng với tốc độ ban đầu v0 = 196 m/s (bỏ qua sức cản của không khí). Tìm thời điểm mà tốc độ của viên đạn bằng 0. Khi đó viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét (lấy g = 9,8 m/s2)?

Lời giải:

Chọn gốc O là vị trí viên đạn được bắn lên.

Phương trình chuyển động của viên đạn là:

yt=v0t12gt2   g=9,8 m/s2.

Vận tốc tại thời điểm t là: v = y'(t) = v0 – gt (m/s).

Do đó để v = 0 thì v0 – gt = 0

Suy ra t=v0g=1969,8 = 20 s.

Khi đó, viên đạn cách mặt đất một khoảng là:

y20=19620129,8202=1960   m.

Bài 8 trang 72 Toán 11 Tập 2: Cho mạch điện như Hình 5. Lúc đầu tụ điện có điện tích Q0. Khi đóng khóa K, tụ điện phóng điện qua cuộn dây; điện tích q của tụ điện phụ thuộc vào thời gian t theo công thức q(t) = Q0sinωt, trong đó ω là tốc độ góc. Biết rằng cường độ I(t) của dòng điện tại thời điểm t được tính theo công thức I(t) = q'(t). Cho biết Q= 10–8 (C) và ω = 106π (rad/s). Tính cường độ dòng điện tại thời điểm t = 6 (s) (tính chính xác đến 10–5 mA)

Bài 8 trang 72 Toán 11 Tập 2  | Cánh diều Giải Toán 11

Lời giải:

I(t) = q'(t) = (Q0sinωt)’ = Q0ω.cosωt

Cường độ của dòng điện tại thời điểm t = 6 (s) là:

I(6) = 10–8 ∙106π.cos(106π.6) = 10–2π.cos0 = 0,01π (A).

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

Bài 3: Đạo hàm cấp hai

Bài tập cuối chương 7

Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc



Link Hoc va de thi 2024

Chuyển đến thanh công cụ